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LGS Matrix 4 Variablen, nur 3 Zeilen, wie lösen

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Gauss, LGS, Matrix, nichtquadratische Matrix

JulianL aktiv_icon

16:47 Uhr, 29.08.2009

Hallo zusammen, mensch ich war lange nicht mehr hier ;-)

wir haben in der schule jetzt mit dem Gaußverfahren angefangen, haben quadratische Matrizen besprochen und letzte Stunde die Möglichkeiten kennengelernt, die es bei 3 Variablen und 4 Zeilen gibt. Jetzt habe ich glücklicher die Aufgaben bekommen, zu versuchen ein Gleichungssystem mit 3 Gleichungen aber 3 Variablen zu lösen. Also habe ich diesbezüglich keine Erfahrung aus dem Unterricht, möchte die Aufgabe aber trotz allem richtig vorstellen;-)

Bis jetzt habe ich mich so weit vorgearbeitet :

1 -3 0 2 |-2

-1 2 -4 1 | 3

-1,5 3 -6 2,5 | 3

das ist das Ausgangssystem. ich hab es jetzt die dreiecksform erstmal hingeschrieben.

1 -3 0 2 | -2

0 -1 -4 3 | 1

0 0 0 -1 | -4.5

in der letzten zeile kann ich dann ja lösen

x4 = 4,5

und jetzt habe ich ja keine möglichkeit, also so weit ich weiß, x1, x2, und x3 richtig zu lösen. ich hab dann versucht jeweils x1, x2 und x3 zu isolieren, und x1 z.b. dann einsetzen um x2 herauszubekommen.

dann habe ich das hier rausbekommen

x1 = 12x3 - 48,5

x2 = 12,5 - 4x3

als ich x3 isolieren wollte, und dafür alles eingesetzt habe, kam 0=0 raus. also müsste x3 beliebig sein.

x4 = 4,5

was habe ich falsch gemacht, oder besser gesagt, wie kann man es besser lösen, denn das ist ja ein reicht, nunja sagen wir mal "schwammiges " ergebniss. ich würde mich über lösungshilfen und methoden freuen :-)

Gruß

Julian

P.S. : sorry, aber ich komme mit dem EquationEditor überhaupt nicht klar.

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Matrizen - Determinante und inverse Matrix
Matrizen - Eigenwerte und Eigenvektoren

DerCommander aktiv_icon

17:16 Uhr, 29.08.2009

deine letzte zeile ist falsch, die ist

0001 / - \frac{3}{2}

ansonsten ist das system nicht eindeutig lösbar. du könntest, wie du schon gesagt hast

x_{3} = r

setzen und die ergebnisse für

x_{2}

und

x_{1}

in abhängigkeit von

r

darstellen. mehr ist aber nicht möglich.

maxsymca

17:23 Uhr, 29.08.2009

Nicht nur...
Gauss ist ein Algorithmus für quadratische Matrizen.
Du kannst

z . B

x_{4} = s

als Parameter festlegen und Deine Matrix damit quadratisch machen:
Gaussalgorithmus:

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 2 \cdot s - 2 \\ - 1 & 2 & - 4 & 3 - s \\ - \frac{3}{2} & 3 & - 6 & 3 - \frac{5 \cdot s}{2} \end{matrix})

A (2) = 1 \cdot A (2) + 1 \cdot A (1)

A (3) = 1 \cdot A (3) + \frac{3}{2} \cdot A (1)

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 2 \cdot s - 2 \\ 0 & - 1 & - 4 & 1 - 3 \cdot s \\ 0 & - \frac{3}{2} & - 6 & - \frac{11 \cdot s}{2} \end{matrix})

A (3) = - 1 \cdot A (3) + \frac{3}{2} \cdot A (2)

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & - 2 \cdot s - 2 \\ 0 & - 1 & - 4 & 1 - 3 \cdot s \\ 0 & 0 & 0 & \frac{2 \cdot s + 3}{2} \end{matrix})

Nur sind Deine Gleichungen von einander abhängig,

d

h

. es gibt nur 2 Gleichungen...
Abschreibfehler?

JulianL aktiv_icon

18:45 Uhr, 29.08.2009

danke für die hilfe, hab meine null so komisch geschrieben dass in der letzten zeile dann

4.5

statt

1.5

rauskam ;-)

insbesondere dank an commander, hatte mir schon gedacht dass es darauf hinausläuft dass es von

x 3

abhängt und man dies nicht mehr weiter einschränken kann. hätte aber ohne dich den rechenfehler nicht bemeerkt und damit hätten mich auch die derive ergebnisse verwundert ;-)

auch danke an ha-we für deine bemühungen, obgleich ich sie nicht verstanden habe. also ich habe die aufgabe nicht falsch abgeschrieben, habs gerade nochmal überprüft.

habe dann die gleichungen mit

- 1.5 = x 4

nochmal neu gerechnet und für

x 1

und

x 2

dann schöne werte in abhängigkeit von

x 3

rausbekommen, da

x 3

ja eine rational beliebiges element ist. die ergebnisse decken sich auch mit denen von derive.

falls es euch interessiert, das ist die lösung

x 1 = - 15.5 - 12 x 3

x 2 = - 5.5 - 4 x 3

x 3 =

element

r

beliebig

x 4 = - 1.5

weiter kann man wohl nicht rechnen, und deswegen habe ich es dann auch bei dieser lösungsmenge gelassen.
da es sich nicht um eine sachaufgabe handelt muss ich es glücklicherweise auch nicht deuten :-)

DerCommander aktiv_icon

19:27 Uhr, 29.08.2009

yip yip yip, aber noch schöner siehts in vektor schreibweise aus. so wie geradengleichungen in der vektoranalysis.

x^{\to} = (- 15,5; - 5,5; 0; - 1,5)' + r \cdot (- 12; - 4; 1; 0)'

um die halbe noch wegzukriegen kannst du auch noch

x^{\to} \cdot 2

nehmen.

GANZ WICHTIGER EDIT: mach dir lieber nochmal die arbeit und prüfe dein ergebnis durch einsetzen in dein ausgangssystem.

maxsymca

11:04 Uhr, 30.08.2009

Mein Weg führt zum gleichen Ergebnis, hab nur nicht weiter gemacht, weil ich verunsichert war.
Ich hab ja

x_{4}

als Laufparameter eingesetzt und komme dann auf

- \frac{2 \cdot s + 3}{2} = 0 \Rightarrow (s) x_{4} = - \frac{3}{2}

usw...
Ich wähle die Parameterfestsetzung vor dem Lösungschritt und stelle die GLeichungen um und erhalte dann eine quadratische Matrix mit dem Parameter auf der rechten Seite der Gleichung und dann Gaussen!

Wenn ich wie ihr

x_{3}

als Parameter wähle

x 3 = s

wird aus:
Vektoren und Matrizen schreiben als
"((1

, - 3, 0, 2,

-2)" , "(-1

, 2, - 4, 1,

3)" , "(-3/2

, 3, - 6, \frac{5}{2},

3))" ohne Anführungszeichen:

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 0 & 2 & - 2 \\ - 1 & 2 & - 4 & 1 & 3 \\ - \frac{3}{2} & 3 & - 6 & \frac{5}{2} & 3 \end{matrix})

Gaussalgorithmus:

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 2 \\ - 1 & 2 & 1 & 4 \cdot s + 3 \\ - \frac{3}{2} & 3 & \frac{5}{2} & 6 \cdot s + 3 \end{matrix})

A (2) = 1 \cdot A (2) + 1 \cdot A (1)

A (3) = 1 \cdot A (3) + \frac{3}{2} \cdot A (1)

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & 3 & 4 \cdot s + 1 \\ 0 & - \frac{3}{2} & \frac{11}{2} & 6 \cdot s \end{matrix})

A (3) = - 1 \cdot A (3) + \frac{3}{2} \cdot A (2)

A (3) = \frac{A (3)}{A (3, 3)}

(\begin{matrix} 1 & - 3 & 2 & - 2 \\ 0 & - 1 & 3 & 4 \cdot s + 1 \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{matrix})

Rücksubstitution...

A (1) = 2 \cdot A (3) - 1 \cdot A (1)

A (2) = 3 \cdot A (3) - 1 \cdot A (2)

A (2) = \frac{A (2)}{A (2, 2)}

(\begin{matrix} - 1 & 3 & 0 & - 1 \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{8 \cdot s + 11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{matrix})

A (1) = 3 \cdot A (2) - 1 \cdot A (1)

A (1) = \frac{A (1)}{A (1, 1)}

(\begin{matrix} 1 & 0 & 0 & - \frac{24 \cdot s + 31}{2} \\ 0 & 1 & 0 & - \frac{8 \cdot s + 11}{2} \\ 0 & 0 & 1 & - \frac{3}{2} \end{matrix})

Also zusammen gefasst:

g : (\begin{matrix} x_{1} \\ x_{2} \\ x_{3} \\ x_{4} \end{matrix}) = (\begin{matrix} - \frac{31}{2} \\ - \frac{11}{2} \\ 0 \\ - \frac{3}{2} \end{matrix}) + s \cdot (\begin{matrix} - 12 \\ - 4 \\ 1 \\ 0 \end{matrix})

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