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LGS in endlichen Körper F11 lösen

Universität / Fachhochschule

Körper

angewandte lineare Algebra

Tags: endlicher Körper, Lineares Gleichungssystem

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20:16 Uhr, 24.11.2017

Hallo,

meine Frage wie ist, wie ich bei der Lösung dieses LGS' vorgehen soll?
In

ℝ

ja so weiter kein Problem, aber der endliche Körper

F 11

verwirrt mich.

2 x_{1} + 4 x_{2} + 4 x_{3} = 4

x_{1} + 1 x_{2} + 5 x_{3} = 8

x_{1} + 2 x_{2} + 7 x_{3} = 4

3 x_{1} + 2 x_{2} + 1 x_{3} = 10

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

ledum aktiv_icon

22:13 Uhr, 24.11.2017

Hallo
das Vorgehen ist wie im reellen, nur rechnest du mit Repräsentanten , wenn du im reelen dividierst musst du im

F_{11}

mit dem inversen multiplizieren, also zB nicht

\frac{2}{2} = 1

sondern

2 \cdot 6 = 1

und negative Zahlen durch positive Repräsentanten ersetzen,

z . B - 3 = 11 - 3 = 8; - 8 = 11 - 8 = 3

usw.
Gruß ledum

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23:13 Uhr, 24.11.2017

Okay, also bspw.

- 1 = 11 - 1 = 10

?
Dann würd ich als nächstes die 2. bzw. 3. Zeile damit multiplizieren, da diese ja beide

x_{1}

enthalten.
Sprich:

10 x_{1} + 10 x_{2} + 50 x_{3} = 80

jetzt müsste ich ja wieder

50

und

80

durch Vertreter ersetzen, zum Beispiel

50 = 5

(?)
Jedoch, sofern das oben drüber richtig ist, wie komme ich dann damit auf die Zeilenstufen form?
2.

+ 3

. Zeile, aber was schreibt man dann?

Danke für die Antwort :-)

ledum aktiv_icon

23:20 Uhr, 24.11.2017

Hallo
ordne um. 2. Gleichung als erste, 3 te als 2 te. jetzt einfach II-I
dann III-2*/ und IV-3*I
jetzt II oder ein vielfaches von II von 3 subtrahieren, usw. das mit

- 1

multiplizieren ist unnötig, man kann in

F_{11}

einfach subtrahieren, nur am Ende negative Repräsentanten in positive umrechnen.
Gruß ledum

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12:26 Uhr, 25.11.2017

Hallo,

habe ich jetzt nach deinen "Anweisungen" jetzt gerechnet, aber komme auf zwei unterschiedliche Lösungen für

x_{3}

einmal

- x_{3} = - 2

und

- x_{3} = - 3

.
Habs jetzt noch nicht durch Repräsentanten ersetzt, aber 2 verschiedene Lösungen kann doch nicht die Lösung sein?

: (

ledum aktiv_icon

14:00 Uhr, 26.11.2017

Hallo
du hast ja ein sog. überbestimmtes GS .

d . h

. es muss nicht unbedingt Lösungen haben, so wie du es aufgeschrieben hast hat es keine Lösung. weil sich ja deine 2 Lösungen widersprechen.
Hast du das System richtig abgeschrieben?
Gruß ledum

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15:05 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

ja, ich habe es richtig abgeschrieben. Habe gerade nochmal von vorne angefangen zu rechnen und bekomme erneut zwei unterschiedliche Ergebnisse für

x_{3}

raus.
Angenommen es ist gibt wirklich keine Lösung, müsste ich trotzdem die Lösungsmenge angeben und wenn ja, wie würde die aussehen?

ledum aktiv_icon

16:59 Uhr, 26.11.2017

Hallo
nein deine Lösungsmenge ist leer. du kannst natürlich - falls das stimmt- sagen. wenn ich nur 3 der Gleichungen nehme ist das System lösbar. aber das war ja nicht die Frage.
du kannst auch den Rang der Matrix und den der erweiterten Matrix bestimmen, wenn sie nicht gleich sind hat das System keine Lösung.
Gruß ledum

pwmeyer aktiv_icon

17:17 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

nach meiner Berechnung (ohne Gewähr) hat das System die Lösung

(2,4,7)

Gruß pwm

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19:07 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

also ich habe jetzt nochmal erneut gerechnet und komme dennoch auf die Gleiche Lösung:

0,0, - 10 | - 20

0,0, - 12 | - 18

Für die 3. und 4. Zeile und das geht nicht auf...

Hab wie folgt gerechnet:

1) 3

. Zeile als Erstes, dann 2.Zeile - 1.Zeile

2)

3.Zeile

- 2 x

1.Zeile

3)

4.Zeile

- 3 x

1.Zeile

4)

3.Zeile

- 2 x

2.Zeile

5)

4.Zeile

+

2.Zeile

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19:17 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

kannst du mir vllt beantworten, ob meine Lösung hier richtig ist bzw wo mein Fehler bei meiner Rechnung liegt?

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19:18 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

kannst du mir vllt beantworten, ob meine Lösung hier richtig ist bzw wo mein Fehler bei meiner Rechnung liegt?

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19:18 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

kannst du mir vllt beantworten, ob meine Lösung hier richtig ist bzw wo mein Fehler bei meiner Rechnung liegt?

pwmeyer aktiv_icon

21:01 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

ohne Deine Zwischenergebnisse kann ich doch Deine Rechnung nicht kontrollieren.

Warum prüfst Du nicht, ob mein Ergebnis stimmt?

Gruß pwm

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22:12 Uhr, 26.11.2017

Hallo,

naja wie du vllt gesehen hast gehts um einen endlichen Körper, ohne zu wissen wofür

2,4,7

wirklich steht (also für was das die Reprsäsentanten sind), kann ich es nicht prüfen
Mit

2,4,7

werd ich ja so keine Gleichung lösen können, weil immer nur addiert wird und bspw in der letzten Zeile

1 \cdot 2 + 2 \cdot 4 + 3 \cdot 7 = 30 = 10

falsch wäre ohne passende Repräsentanten.

ledum aktiv_icon

23:17 Uhr, 26.11.2017

Hallo
natürlich kannst du die Zahlen von pw einfach einsetzen. was meinst du mit "welchen Repräsentanten"

z . B

deine erste Gleichung

x_{1} + x_{2} + 5 \cdot x_{3} = 8

eingesetzt

2 + 4 + 35 = 8

also 41=8mod11 ist richtig, entsprechend die anderen 4 Gleichungen.
wo du dich verrechnet hast, weiss ich nicht.
vielleicht setzest du nach jeder Umformung mal die richtigen Ergebnisse ein, ob sie noch immer stimmen. dann findest du deinen Fehler.
Gruß ledum
.

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