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LGS lösen einer 4x5 Matrix mit Gaus

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: LGS, LGS gauß, Matrizenrechnung

maxito aktiv_icon

22:24 Uhr, 17.11.2015

habe hier ein LGS wobei ich nicht glaube, dass ich die richtige Lösung gefunden habe:
bzw. eine nicht komplette und ich glaube auch nicht, dass mein restlicher Teil korrekt ist Hier das LGS

(\begin{array}{rcl} 1 & 4 & 2 & 7 & 1 \\ 2 & 5 & 1 & 0 & 2 \\ - 1 & - 2 & 0 & 3 & - 1 \\ 0 & 1 & 1 & 4 & 0 \end{array}) * x = (\begin{array}{rcl} 8 \\ 9 \\ - 3 \\ 2 \end{array})

Nach dem ich Gauß anwende komme ich auf folgende Form:

(\begin{array}{rcl} x_{5} & x_{1} & x_{2} & x_{3} & x_{4} \\ 1 & 1 & 4 & 2 & 7 \\ 0 & 0 & - 3 & - 3 & - 14 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & - 2 \end{array}) = (\begin{array}{rcl} 8 \\ - 7 \\ 1 \\ - 1 \end{array})

sodass ich für x_4 auf

\frac{1}{2}

komme.

Dann weis ich also, dass x_2 und x_3 voneinander abhängig sind. Ich diese also in Parameter darstellen kann. sowohl x_1 und x_5 voneinander abhängen wie auch von x_2 und x_3.

Meine unvollständige Lösung sieht also so aus:

x = (\begin{array}{rcl} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 / 2 \\ 0 \end{array}) + (\begin{array}{rcl} 0 \\ 1 \\ - 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) * t_{1} + (\begin{array}{rcl} 0 \\ - 1 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \end{array}) * t_{2} + (\begin{array}{rcl} 9 / 2 \\ - 2 \\ 2 \\ ? \\ - 1 \end{array}) * t_{3} + (\begin{array}{rcl} - 1 \\ - 2 \\ 2 \\ ? \\ 9 / 2 \end{array}) * t_{4}

Abgesehen davon, dass ich nicht weis ob meine Lösung bis jetzt richtig ist, weis ich nicht, wie ich auf die anderen Werte (?) komme. Ich hoffe Ihr könnt mir helfen

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

22:43 Uhr, 17.11.2015

Hallo überprüfe deine Lösung mit
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gaussjordan.htm
kreuz an lösungsvektor in letzter Spalte und nur Dreiecksform
Gruß ledum

ggruß ledum

maxito aktiv_icon

23:26 Uhr, 17.11.2015

also ich habe jetzt noch mal meine Lösung in Abhängigkeit von Parametern

x = (\begin{array}{rcl} s \\ t \\ - t \\ 1 / 2 \\ 9 / 2 - 2 t - s \end{array})

nach meinem Verständnis sollte dieser Zwischenschritt richtig sein, mir stellt sich jetzt aber die Frage, wie hier weiter mache.

Respon

23:30 Uhr, 17.11.2015

"Händische Lösung"
Die verbleibenden zwei Gleichungen sehen dann so aus

x_{1} + 4 \cdot x_{2} + 2 \cdot x_{3} + x_{5} = \frac{9}{2}

- 3 \cdot x_{2} - 3 \cdot x_{3} = 0 \Rightarrow x_{2} = - x_{3}

\Rightarrow x_{1} - 2 \cdot x_{3} + x_{5} = \frac{9}{2}

Setze zwei Parameter

(z . B .) x_{1} = t_{1}

und

x_{5} = t_{2}

\Rightarrow

x_{1} = t_{1}

x_{2} = - \frac{t_{1}}{2} - \frac{t_{2}}{2} + \frac{9}{4}

x_{3} = \frac{t_{1}}{2} + \frac{t_{2}}{2} - \frac{9}{4}

x_{4} = \frac{1}{2}

x_{5} = t_{2}

Also

\vec{x} = (\begin{matrix} 0 \\ \frac{9}{4} \\ - \frac{9}{4} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \end{matrix}) + t_{1} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 0 \end{matrix}) + t_{2} \cdot (\begin{matrix} 0 \\ - \frac{1}{2} \\ \frac{1}{2} \\ 0 \\ 1 \end{matrix})

maxito aktiv_icon

23:55 Uhr, 17.11.2015

Ah OK, dann bestand mein Fehler darin, schon

x_{2}

bzw

x_{3}

als Parameter darzustellen. bis zu deinem 2. schritt mit dem Parameter setzen bin ich ja auch gekommen ich habe ja

x_{2}

als

t

und

x_{3}

als

- t

dargestellt und somit weitergemacht.

x_{1}

als

s

und dann in meine 1 Gleichung eingesetzt und

x_{5}

in Abhängigkeit von den anderen Werten, vllt nicht so schön dargestellt :-P) Und dann ziehe ich quasi einfach nur noch meine Parameter einzel raus oder?

Respon

23:58 Uhr, 17.11.2015

Dein Rechenweg war ja ( bis auf den Schluss ) korrekt.

maxito aktiv_icon

00:05 Uhr, 18.11.2015

Ok ja muss mir noch ein paar von solchen Aufgaben angucken, damit ich richtig durchblicke danke nochmal :-D)

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