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LGS mit Lambda lösen

Universität / Fachhochschule

Lineare Abbildungen

Tags: alle Lösungen, in Abhängigkit von Lambda, Lambda, Lineare Abbildungen, Lösung

schlaeth aktiv_icon

21:48 Uhr, 18.10.2014

Gegeben ist das Lineare Gleichungssystem mit den unbekannten

x 1, x 2

und

x 3

(\begin{matrix} λ - 1 & 1 & 0 \\ 0 & λ - 1 & 1 \\ 1 & 0 & λ - 1 \end{matrix}) (\begin{matrix} x 1 \\ x 2 \\ x 3 \end{matrix}) = (\begin{matrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{matrix})

a)

Sei

λ = 0

. Bestimmen sie durch ausführliche Berechnung alle Lösungen dieses Linearen Gleichungssystems

b)

Bestimmen sie alle Werte

λ ε ℝ

. Für welche das Gleichungssystem exakt eine Lösung hat.

Hallo ich hab jetzt schon länger keine Linearen Gleichungssysteme mehr gelöst und hänge deswegen hier bei beiden aufgabenteilen. Würde mich sehr über hilfe freuen vielen Dank schonmal im vorraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

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22:00 Uhr, 18.10.2014

a) google Gauss-Eliminationsverfahren
b) exakt eine Lösung ist, wenn Determinante nicht Null, also berechne die Determinante

schlaeth aktiv_icon

22:07 Uhr, 18.10.2014

Hi zunächst einmal dankeschön für die schnell Antwort

a) | \begin{matrix} 1 & 1 & 1 \\ 0 & 1 & 1 \\ - 1 & 0 & 1 \end{matrix} |

so das Problem ist nur wenn ich hier die unterste Zeile auf Dreicksform zu bringen erhalte ich die Gleichung

x 1 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0 ...

schlaeth aktiv_icon

22:10 Uhr, 18.10.2014

okay die Determinante kann ich mit der Regel von Sarreu lösen kannst du mir vielleicht nochmal die Fälle all erklären wann erhalte ich keien Lösung und wann zwei nur so als Wiederholung. Lösung für die Determinante folgt sobald ich sie berechnet habe.

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22:11 Uhr, 18.10.2014

Wieso ist das ein Problem? In a) ist

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0

die einzige Lösung des Systems.

Das ist ein homogenes System, das heißt,

x_{1} = x_{2} = x_{3} = 0

ist immer eine Lösung. Und in den Fällen, wenn die Lösung eindeutig ist, gibt's halt keine anderen, natürlich. Für

λ = 0

ist die Lösung eindeutig, denn die Determinante ist nicht

0

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22:14 Uhr, 18.10.2014

"kannst du mir vielleicht nochmal die Fälle all erklären wann erhalte ich keien Lösung und wann zwei nur so als Wiederholung"

Nein, dafür hast Du Wikipedia.
Aber so viel kann ich schon sagen: zwei Lösungen gibt's nie. Im allgemeinen Fall gibt's drei Möglichkeiten: keine Lösungen, eine Lösung, unendlich viele Lösungen.
Und im Fall von einem homogenen System wie diesem nur zwei Möglichkeiten: eine Lösung (alles Null) und unendlich viele Lösungen

schlaeth aktiv_icon

22:19 Uhr, 18.10.2014

alles klar also wenn ich mich nicht verrechnet habe er halt ich die Gleichung

λ^{3} + 1 = 0

rundblick aktiv_icon

22:22 Uhr, 18.10.2014

"
Für λ=0 ist die Lösung eindeutig, denn die Determinante ist nicht 0.
"

bist du sicher, Herr Dr?
.. wenn in der zu Beginn notierten Det. für

λ = 0

gesetzt wird ??!

\Rightarrow

- 1,1,0

0, - 1,1

1,0, - 1

Wert dieser Det?

@ schlaeth :
"
verrechnet habe er halt ich die Gleichung

λ^{3} + 1 = 0

"

..mir scheint, es könnte eher so aussehen

\to {(λ - 1)}^{3} + 1 = 0

hm?

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22:35 Uhr, 18.10.2014

Ich habe nur die Determinante von Schlaeth angekuckt, welches wohl falsch ist.

Ja, Rundblick hat Recht.

schlaeth aktiv_icon

22:38 Uhr, 18.10.2014

oh sorry meint ich auch habs nur falsch hingeschrieben was ist mit a stmmt da die Lösung

x 1 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0

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22:43 Uhr, 18.10.2014

Diese Nulllösung ist immer eine Lösung von einem homogenen System, habe ich doch oben schon geschrieben!

Aber wenn Determinante=

0

, dann hast Du unendlich viele Lösungen, also es kommen noch welche dazu. :-))

schlaeth aktiv_icon

22:44 Uhr, 18.10.2014

okay nur wie bekomm ich diese Lösungen nun raus wenn ich so ne Gleichung hab^^?

rundblick aktiv_icon

22:45 Uhr, 18.10.2014

bei Aufgabe

a)

.. also wenn

λ = 0

ist ..

\to

erhältst du BELIEBIG VIELE Lösungen..

(also nicht nur

x_{1} = 0; x_{2} = 0; x_{3} = 0

ich hoffe, der Herr Dr, kann das bestätigen ?...

oh, sehe gerade : er hat schon!
also alles klar.

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22:48 Uhr, 18.10.2014

"okay nur wie bekomm ich diese Lösungen nun raus wenn ich so ne Gleichung hab"

Gauss-Eliminations-Verfahren!

schlaeth aktiv_icon

22:53 Uhr, 18.10.2014

hmmm entweder blick ichs nicht oder weißt auch nicht dacht des hab ich eigentlich versuch als ich das hier gesagt hab

a)"so das Problem ist nur wenn ich hier die unterste Zeile auf Dreicksform zu bringen erhalte ich die Gleichung

x 1 = 0

x 2 = 0

x3=0...."

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23:08 Uhr, 18.10.2014

Dann hast Du es halt falsch gemacht.
Du kannst auch Tools das für Dich machen lassen:
http//www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/gleichungssysteme.htm
http//rechneronline.de/lineare-algebra/gleichungssysteme.php
usw.

schlaeth aktiv_icon

23:25 Uhr, 18.10.2014

Also hab das ganze mal mit meinem Tool meiner Wahl gerechnet und der bekommt auch in der untersten Zeile die selbe Lösung wie ich heraus bzw. im ganzen LGS

x 1 = 0

x 2 = 0

x 3 = 0

rundblick aktiv_icon

23:37 Uhr, 18.10.2014

Mann!

wann kapierst du, dass

λ - 1

NICHT

+ 1

ist, wenn du für

λ = 0

einsetzt?

also:
in der Haupt-Diagonale der Det. sind dann alle drei Werte gleich

- 1

und nicht

+ 1

und der Wert der Det. ist dann 0

usw.. siehe oben

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