Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » LGS mit unbekannten Parametern

LGS mit unbekannten Parametern

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: eine lösung, keine Lösung, Lineares Gleichungssystem, Mehrere Lösungen, Unbekannte errechnen

Dreemer aktiv_icon

13:16 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

ich habe dieses mal ein Problem mit der Lösung eines LGS, in dem auch der Parameter "a" auftaucht.
Im Folgenden wird die Aufgabe hier geschildert und zusätzlich die Aufgabe als Bilddatei angehängt.

__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}__{_}

Für welche Werte

a \in ℝ

hat das lineare Gleichungssystem

2 x_{1} + 3 x_{2} + a x_{3} = 3

1 x_{1} + 1 x_{2} - 1 x_{3} = 1

1 x_{1} + a x_{2} + 3 x_{3} = 2

jeweils

(a)

keine Lösung?

(b)

genau eine Lösung?

(c)

mehr als eine Lösung?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

Respon

13:28 Uhr, 15.10.2017

Da gibt es mehrere Wege.

z . B . :

Das LGS hat genau eine Lösung, wenn die Determinante der Systemmatrix

\neq 0

.
Bilde die Deterinante, suche dir die zwei "verbotenen Werte", für welche die Determinante

= 0

ist und überlege weiter.

Dreemer aktiv_icon

13:51 Uhr, 15.10.2017

Ich kann den Gedankengang nachvollziehen,
Ich bin jedoch noch am Anfang meines Mathematik-Studiums. Wir haben bisher nur homogene und inhomogene LGS, die Koeffizientenmatrix und den Gauß-Jordan-Algorithmus in den Vorlesungen gehabt.
Gibt es eine Möglichkeit, die Lösung zu der Aufgabe ohne Determinanten zu bestimmen?

ermanus aktiv_icon

14:10 Uhr, 15.10.2017

Hallo,
kennt ihr die Begriffe Rang und erweiterte Koeffizientenmatrix ?

Dreemer aktiv_icon

14:13 Uhr, 15.10.2017

Den Rang einer Matrix haben wir noch nicht ausführlich besprochen. Dies wird wahrscheinlich in der nächsten Vorlesung bearbeitet.
Die erweiterte Koeffizientenmatrix ist besprochen worden, genau so wie die elementaren Zeilenumformungen und die Zeilenstufenform einer solchen Matrix.

ermanus aktiv_icon

14:25 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

(a) keine Lösung hat man, wenn die Zeilenstufenform der erweiterten Matrix
mehr Nichtnullzeichen als die Zeilenstufenform der "normalen" Koeffizientenmatrix hat.

(b) genau eine Lösung liegt vor, wenn die Zeilenstufenform 3 Nichtnullzeilen hat.

(c) mehr als eine Lösung liegt vor, wenn sowohl die Zeilenstufenform der
"normalen" Matrix als auch der erweiterten Matrix zwar gleichviele, aber
weniger als 3 Nichtnullzeilen besitzt.

Gruß ermanus

Dreemer aktiv_icon

14:38 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

ich muss mich entschuldigen. Ich bin mir nicht sicher, was ich darunter verstehen soll.

Liebe Grüße

ermanus aktiv_icon

14:53 Uhr, 15.10.2017

Seltsam ;-)
Steht doch alles ganz klar da?
Die normale Matrix ist halt die Matrix, die man nicht erweitert hat.
Wenn man die Zeilenstufenform einer Matrix hergestellt hat, finden sich
am unteren Ende möglicherweise Nullzeilen, die darüber stehenden Zeilen
sind dann eben die Nichtnullzeilen.
Ich weiß jetzt nicht, was an meiner Ausführung unverständlich ist :(

Dreemer aktiv_icon

17:41 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

ich glaube, dass ich es jetzt nachvollziehen kann.

Ich habe soweit beim Auflösen des LGS nach Gauß-Jordan herausgefunden, dass wenn

a \neq 2 \lor a \neq - 3

gilt, dass man bei der erweiterten Koeffizientenmatrix auf drei Nichtnullzeilen kommt.

Letztendlich kommen raus:

x_{1} = 1

x_{2} = \frac{1}{a + 3}

x_{3} = \frac{1}{a + 3}

Wenn jedoch

a = 2 \lor a = - 3

gilt, erhält man

1 x_{1} + (- a - 3) x_{3} = 0

1 x_{2} + (a + 2) x_{3} = 1

0 = - 2 + a

Dieses LGS lässt sich dann so nicht lösen, sodass man auf kein Ergebnis kommen kann.

Geht das grundsätzlich in die richtige Richtung? Was muss ich noch dringend beachten?

Liebe Grüße

Respon

19:37 Uhr, 15.10.2017

| \begin{matrix} 2 & 3 & a \\ 1 & 1 & - 1 \\ 1 & a & 3 \end{matrix} | = a^{2} + a - 6 = (a - 2) \cdot (a + 3)

\Rightarrow

Für

a \neq 2 \land a \neq - 3

ist die Determinante der Systemmatrix

\neq 0

und wir haben genau eine Lösung ( Löungstrippel )

a = 2

(\begin{matrix} 2 & 3 & 2 & 3 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & 2 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & 2 & 3 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \\ 0 & 1 & 4 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow . .

a = - 3

(\begin{matrix} 2 & 3 & - 3 & 3 \\ 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 3 & 2 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 1 & - 3 & 3 & 2 \\ 2 & 3 & - 3 & 3 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 4 & - 4 & - 1 \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} 1 & 1 & - 1 & 1 \\ 0 & 1 & - 1 & - \frac{1}{4} \\ 0 & 1 & - 1 & 1 \end{matrix}) \Rightarrow . .

Dreemer aktiv_icon

20:19 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

ich danke Ihnen für Ihre Antwort, jedoch muss ich leider sagen, dass ich mit diesem Lösungsansatz nichts anfangen kann.
Da ich noch am Anfang meines Mathematik-Studiums bin, haben wir in der linearen Algebra bis jetzt nur die (in-)homogenen LGS, (erweiterte) Koeffizientenmatrizen, den Gauß-Algorithmus und die Begriffe wie "Zeilenstufenform" kennengelernt.
In dieser Aufgabe wird erwartet, dass wir noch nicht wissen, was Determinanten sind oder wie man mit diesen arbeitet.
Mein Ansatz war, dass ich erstmal dieses LGS in eine erweiterte Koeffizientenmatrix überführe und nach dem Gauß-Jordan-Algorithmus in die normierte Zeilenstufenform bringe.
Im Folgenden ist der Rechenprozess angehängt.

Dabei ist zu beachten, dass in der letzten Zeile der letzten Matrix

(- a^{2} - a + 6) x_{3} = 2 - a

steht.

In dem Fall ist dann zu beachten, dass man betrachtet, dass entweder

- a^{2} - a + 6 = 0 \Leftrightarrow a^{2} + a - 6 = 0 \Leftrightarrow (a - 2) (a + 3) = 0

gilt oder

- a^{2} - a + 6 \neq 0

.

Wenn der obige Fall eintreten sollte, dann erhält man

a_{1} = 2 \land a_{2} = - 3

Eingesetzt würde dann gelten

0 = 2 - a

Wie ich momentan jetzt auch gesehen habe, ist die Gleichung zwar nicht für

a_{2} = - 3

lösbar, aber für

a_{1} = 2

Dreemer aktiv_icon

20:19 Uhr, 15.10.2017

(- a^{2} - a + 6) x_{3} = 2 - a

steht.

In dem Fall ist dann zu beachten, dass man betrachtet, dass entweder

- a^{2} - a + 6 = 0 \Leftrightarrow a^{2} + a - 6 = 0 \Leftrightarrow (a - 2) (a + 3) = 0

gilt oder

- a^{2} - a + 6 \neq 0

.

Wenn der obige Fall eintreten sollte, dann erhält man

a_{1} = 2 \land a_{2} = - 3

Eingesetzt würde dann gelten

0 = 2 - a

Wie ich momentan jetzt auch gesehen habe, ist die Gleichung zwar nicht für

a_{2} = - 3

lösbar, aber für

a_{1} = 2

Respon

20:24 Uhr, 15.10.2017

Wie ich oben schon sagte: Es gibt einige Wege.
Mit "Gauss" bekommst du

a^{2} + a - 6 | a - 2

bzw.

(a - 2) \cdot (a + 3) | a - 2

Wenn du das richtig interpretierst, dann hast du die Lösungen.
Also:
Ist

a \neq 2

und

a \neq - 3,

dann läßt sich durch

(a - 2) \neq 0

kürzen und wir erhalten

x_{3} = \frac{1}{a + 3}

( wegen

x \neq - 3

definiert ).

\Rightarrow x_{2} = . .

. und

x_{1} = ...,

also genau ein Lösungstrippel.

Ist

a = 2,

so erhalten wir

0 \cdot 5 \cdot x_{3} = 0

. Jeder beliebige Wert für

x_{3}

wäre Lösung, also mehr als eine Lösung.

Ist

a = - 3

so lautet die Gleichung

0 \cdot x_{3} = - 5

. Es gibt es keine reelle Zahl, die diese Gleichung erfüllt, also keine Lösung

Dreemer aktiv_icon

21:13 Uhr, 15.10.2017

Hallo,

vielen Dank für deine Hilfestellung!
Ich bin vor kurzem auch auf dasselbe Ergebnis gekommen und bin erfreut, dass ich die Richtigkeit bestätigen kann.
Ich werde dann mal die Diskussion hier schließen.

Liebe Grüße

1390548

1390435

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?