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LGS mit zwei Parametern, Fallunterscheidung

Universität / Fachhochschule

angewandte lineare Algebra

Tags: Angewandte Lineare Algebra, Fallunterscheidung, Lineares Gleichungssystem

isa92 aktiv_icon

11:10 Uhr, 08.11.2015

Hallo,
ich habe folgende Aufgabe bearbeitet, bin mir aber leider nicht sicher, ob gerade der Teil mit der Fallunterscheidung richtig ist:

Aufgabe:
Löse das LGS in Abhängigkeit von

α, β \in ℝ

x_{1} - x_{2} + x_{3} = 0

3 x_{1} - 4 x_{2} + x_{3} = 1

- x_{1} + 5 x_{2} + α x_{3} = β - 2

Mein Lösungsweg:
Aufstellen der Matrix:

(\begin{array}{rcl} 1 & - 1 & 1 & ∣ 0 \\ 3 & - 4 & 1 & ∣ 1 \\ - 1 & 5 & α & ∣ β - 2 \end{array})

durch Umformen komme ich dann auf folgende Matrix:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 3 & ∣ - 1 \\ 0 & 1 & 2 & ∣ - 1 \\ 0 & 0 & α - 7 & ∣ β + 2 \end{array})

Nun kommt der Teil, bei dem ich mir nicht sicher bin, die Fallunterscheidung:
Ich habe mir angeschaut, bei welchen

α

und

β

Nullstellen auftreten.

1. Fall:

α = 7

und

β = - 2

Wenn ich das in die umgeformte Matrix einsetze, ergibt das dann folgende Matrix:

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 3 & ∣ - 1 \\ 0 & 1 & 2 & ∣ - 1 \\ 0 & 0 & 0 & ∣ 0 \end{array})

Ich wähle

x_{3} = λ

und komme auf folgende Gleichungen:

x_{1} + 3 λ = - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x_{1} = - 1 - 3 λ

x_{2} + 2 λ = - 1 \overset{}{\Leftrightarrow} x_{2} = - 1 - 2 λ

Womit ich für den 1. Fall zu folgender Lösungsmenge komme:

L = {(- 1 - 3 λ); (- 1 - 2 λ); λ}

2. Fall:

α = 7

und

β \in ℝ \ {- 2}

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 3 & ∣ - 1 \\ 0 & 1 & 2 & ∣ - 1 \\ 0 & 0 & 0 & ∣ β + 2 \end{array})

β \neq - 2

ist, und somit

β + 2 \neq 0

ist, ergibt sich in der letzten Zeile der Matrix eine falsche Aussage, die Lösungenmenge für den zweiten Fall ist also leer:

L = {}

3. Fall:

α \in ℝ \ {7}

und

β \in ℝ

(\begin{array}{rcl} 1 & 0 & 3 & ∣ - 1 \\ 0 & 1 & 2 & ∣ - 1 \\ 0 & 0 & α - 7 & ∣ β + 2 \end{array})

Daraus ergeben sich folgene Gleichungen:

x_{1} + 3 x_{3} = - 1

x_{2} + 2 x_{3} = - 1

(α - 7) x_{3} = β + 2 \Rightarrow x_{3} = \frac{β + 2}{α - 7}

Ich setze x_3 in die ersten beiden Gleichungen ein und löse sie nach

x

auf:

x_{1} + 3 (\frac{β + 2}{α - 7}) = - 1 \Rightarrow x_{1} = - \frac{α + 3 β - 1}{α - 7}

x_{2} + 2 (\frac{β + 2}{α - 7}) = - 1 \Rightarrow x_{2} = - \frac{α + 2 β - 3}{α - 7}

und bekomme für den dritten Fall folgende Lösungsmenge:

L = {(- \frac{α + 3 β - 1}{α - 7}); (- \frac{α + 2 β - 3}{α - 7}); \frac{β + 2}{α - 7}}

Nun meine Fragen:
Ist das alles so korrekt?
Ist es richtig, dass ich bei der Fallunterscheidung nur die umgeformte Matrix auf Nullstellen untersuche, oder muss ich das auch bei der Ausgangsmatrix machen (z.B.: für

β = 2

)

Ich danke schon einmal im Voraus für eure Mühe,
Isa

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lineare Gleichungssysteme

DrBoogie aktiv_icon

11:20 Uhr, 08.11.2015

Die Vorgehensweise ist absolut OK.
Ob es rechnerisch auch stimmt, habe ich nicht geprüft (das kannst Du auch selber tun, indem Du die Lösungen ins ursprüngliche System einsetzt).

isa92 aktiv_icon

11:32 Uhr, 08.11.2015

Danke für die Antwort, DrBoogie,
ich habe die Lösungen in das ursprüngliche System eingesetzt, und bekam auch "richtige Werte" heraus, rechnerisch stimmt es also.
Habe ich aber auch bei der Fallunterscheidung alle Fälle abgedeckt?

DrBoogie aktiv_icon

11:35 Uhr, 08.11.2015

Ja, es gibt nur drei Fälle.

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