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LGS über R in Abhängigkeit von a lösen

Universität / Fachhochschule

Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

Hulio aktiv_icon

17:16 Uhr, 29.11.2013

Folgende Gleichungen sind gegeben:

Lösen Sie das folgende lineare Gleichungssystem über R in den Unbekannten x,
y, z in Abhängigkeit von a.

2x +y +z = 0
-2ax+ay +9z= 6
2x +2y +az= 1

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 1 ∣ 0 \\ - 2 a & a & 9 ∣ 6 \\ 2 & 2 & a ∣ 1 \end{array})

Die Frage ist wie löse ich so eine Aufgabe?
Mit dem Gauß komme ich irgendwie nicht ganz weiter, liegt wohl daran, dass ich nicht genau weiß wie ich mit dem Parameter "a" umgehen soll.

Wäre über einen Ansatz sehr froh!

Danke im Voraus

Hulio

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michael777 aktiv_icon

18:52 Uhr, 29.11.2013

bringe die Matrix zunächst auf Stufenform

erster Schritt:
1. Zeile von der 3. abziehen
1. Zeile mit a multiplizieren und zur 2. addieren

Hulio aktiv_icon

19:02 Uhr, 29.11.2013

(\begin{array}{rcl} 2 a & a & a & ∣ 0 \\ 0 & 2 a & (a + 9) & ∣ 6 \\ 0 & 1 & (a - 1) & ∣ 1 \end{array})

Wäre das soweit dann richtig?

michael777 aktiv_icon

19:05 Uhr, 29.11.2013

ich hätte die erste Zeile unverändert übernommen, sonst ist die Umformung aber richtig

nächster Schritt:
die ersten beiden Zeilen übernehmen
dritte Zeile mit

(- a)

multiplizieren und zur zweiten addieren

Hulio aktiv_icon

19:25 Uhr, 29.11.2013

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 1 & ∣ 0 \\ 0 & a & (a + 9) + (- a^{2} + a) & ∣ 6 - a \\ 0 & - a & (- a^{2} + a) & ∣ a \end{array})

Habe die erste Zeile wieder ursprünglich gemacht...
Das sieht jetzt recht wüst aus, bin mir nicht sicher ob ich das richtig gemacht habe...
Ich könnte die dritte zeile ja nochmal addieren, dann würde ich quasi das erhalten:

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 1 & ∣ 0 \\ 0 & 0 & (a + 9) + 2 (- a^{2} + a) & ∣ 6 - 2 a \\ 0 & - a & (- a^{2} + a) & ∣ a \end{array})

Dritte zeile mit der zweiten vertauschen:

(\begin{array}{rcl} 2 & 1 & 1 & ∣ 0 \\ 0 & - a & (- a^{2} + a) & ∣ a \\ 0 & 0 & (a + 9) + 2 (- a^{2} + a) & ∣ 6 - 2 a \end{array})

Dann hätte ich ja die typische Stufenform, nur bin ich mir über den Ausdruck in der neuen dritten zeile nicht sicher, ob ich das richtig berechnet habe...

michael777 aktiv_icon

19:34 Uhr, 29.11.2013

die zweite und dritte Zeile kann man noch vereinfachen

zweite Zeile durch

(- a)

dividieren, bei dir fehlt auf der rechten Seite ein -

dritte Zeile:
ich habe

- 2 a^{2} + 3 a + 9 | 6 - 2 a

zunächst durch

- 2

dividiert und dann die linke Seite in Linearfaktoren zerlegt (pq-Formel dann

(x - x_{1}) \cdot (x - x_{2})))

(\begin{matrix} 2 & 1 & 1 & | 0 \\ 0 & 1 & a - 1 & | 1 \\ 0 & 0 & (a - 3) (a + \frac{3}{2}) & | (a - 3) \end{matrix})

in der umgeformten Matrix kann man direkt ablesen, für welche a es keine und für welche es unendlich viele Lösungen gibt
keine Lösung, wenn

a = - \frac{3}{2}

unendlich viele Lösungen (Parameterlösung) für

a = 3 :

x = - \frac{1}{2} + \frac{1}{2} t

y = 1 - 2 t

z = t

die Umformung ist aber nur für

a \neq 0

gültig, da man bei der Umformung eine Gleichung mit a multipliziert hat
den Sonderfall

a = 0

in der Ausgangsmatrix getrennt ausrechnen

Hulio aktiv_icon

20:31 Uhr, 29.11.2013

Danke soweit auf jeden Fall!
Ich kann das soweit nachvollziehen, das mit den Linearfaktoren usw. ist klar, damit man direkt sehen kann wann die Gleichung erfüllt ist und wann nicht.
Wenn ich die 3 in die Matrix einsetze sehe ich ja, dass der Rang der Matrix 2 ist weil die zweite und dritte Zeile quasi die selbe sind, was natürlich auch die unendliche Lösungsmenge erklärt.
Soweit so gut, nun hast du die Lösungen für x,y,z angegeben für den Fall dass a=3 ist.
Du setzt dann einfach z=t mit

t \in ℝ

und brechnest dann einfach x und y.

Ich glaube ich habe alles verstanden :-)

Ach und für den Fall, dass a

\neq

3 oder 0 ist gibt es auch keine Lösung, resultierend aus der Gleichung, muss man dann glaube auch angeben oder?

Das wäre also ein Teil der Aufgabe, der nächste wäre a=0 zu setzen um zu gucken was rauskommt, richtig?

michael777 aktiv_icon

20:33 Uhr, 29.11.2013

bei

a = 0

gibts eine eindeutige Lösung

für

a \in R

{- \frac{3}{2}; 3}

hat das LGS genau eine Lösung

Hulio aktiv_icon

20:37 Uhr, 29.11.2013

für a=

- \frac{3}{2}

gibt es doch auch keine Lösung da dann 0 = -4,5 raus kommt oder bin ich jetzt ganz bescheuert ? :-P)

michael777 aktiv_icon

20:40 Uhr, 29.11.2013

für

a = - \frac{3}{2}

ist die linke Seite komplett

0,

rechts steht

- \frac{9}{2}

das ist aber keine Lösung, wegen

0 \cdot x + 0 \cdot y + 0 \cdot z = - \frac{9}{2}

also

0 \neq - \frac{9}{2}!

deswegen ist für

a = - \frac{3}{2}

das LGS unlösbar

Hulio aktiv_icon

20:48 Uhr, 29.11.2013

Jap, das meine ich ja auch :-) für a=3 kann man das LGS mit unendlich vielen Lösungen lösen in Bezug auf x,y,z, für a=0 mit genau einer Lösung für jede Unbekannte x,y,z und für alle anderen Fälle kann man das LGS gar nicht lösen.

Danke! Du hast mir sehr geholfen!

michael777 aktiv_icon

20:49 Uhr, 29.11.2013

stimmt nicht ganz
nur für

a = - \frac{3}{2}

ist das LGS unlösbar
für

a = 3

gibts unendlich viele Lösungen
für alle anderen a gibts genau eine Lösung

Hulio aktiv_icon

20:50 Uhr, 29.11.2013

Achso, wie gibt man das dann an, oder wie formuliert man das am besten in einer Klausur. Muss man da nochmal was nachweißen oder sowas?

Oder war die ganze berechnung erstmal, einfach die Unterscheidung, wann es unendlich viele Lösungen gibt, wann gar nicht... das wars und sonst gibt es genau eine?

michael777 aktiv_icon

20:53 Uhr, 29.11.2013

du kannst ja die Fälle unlöbar, lösbar und eindeutige Lösung so angeben

wenn nach der Lösung gefragt wird, dann musst du die Matrix weiter umformen (bis links die Einheitsmatrix steht) um

x, y

und

z

in Abhängigkeit von a zu berechnen

Hulio aktiv_icon

20:55 Uhr, 29.11.2013

Ja ich habs verstanden... die berechnung dient einfach dazu um zu unterscheiden wann die matrix lösbar ist, wann nicht und in welcher dimension der lösungsraum ist usw....

Danke !!!

Hulio aktiv_icon

22:04 Uhr, 29.11.2013

Vielleicht nochmal eine weitere Aufgabe, damit ich sehe ob ich es zu 100% verstanden habe:

(\begin{array}{rcl} 1 & a & 0 & ∣ 2 \\ 1 & 1 & a & ∣ 3 \\ 1 & (2 a - 1) & 1 & ∣ 3 \end{array})

\Rightarrow

(\begin{array}{rcl} 1 & a & 0 & ∣ 2 \\ 1 & 1 & a & ∣ 3 \\ 0 & (a - 1) & a & ∣ 1 \end{array})

\Rightarrow

(\begin{array}{rcl} 1 & a & 0 & ∣ 2 \\ 0 & (- a + 1) & a & ∣ 1 \\ 0 & (a - 1) & a & ∣ 1 \end{array})

\Rightarrow

(\begin{array}{rcl} 1 & a & 0 & ∣ 2 \\ 0 & (- a + 1) & a & ∣ 1 \\ 0 & 0 & 2 a & ∣ 2 \end{array})

Für den Fall dass a=0

\Rightarrow

keine Lösung!
Für den Fall dass a

\neq

\Rightarrow

jeweils eine einzige Lösung und zwar mit z=

a^{- 1}

Ist das richtig so oder fehlt da noch eine Betrachtung?

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