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L'Hospital Ableitung, verstehe Umformung nicht

Universität / Fachhochschule

Grenzwerte

Tags: Grenzwert L'Hospital

jojessi aktiv_icon

13:50 Uhr, 15.04.2019

lim x \to

unendlich

x (1 - a^{- \frac{1}{x}})

Liebe Community,

Man muss den Term für die Anwendung von L'hospital in einen Bruch umschreiben - ich verstehe allerdings nicht, warum man einfach den Exponenten

\frac{1}{x}

in den Nenner bringen kann.
Würde mir das bitte jemand erklären.

Das Bild stammt vom Lösungsweg von Wolfram Alpha.

Vielen Dank!

2019-04-15 13_27_39-lim x-_∞ x(1-a^(-1_x) - Wolfram_Alpha

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Matheboss aktiv_icon

14:29 Uhr, 15.04.2019

x = \frac{1}{x^{- 1}} = \frac{1}{\frac{1}{x}}

Ich würde es so umschreiben

... = lim_{x \to \infty} \frac{1 - a^{- x^{- 1}}}{x^{- 1}} =

jetzt l'Hospital anwenden.

Atlantik aktiv_icon

15:10 Uhr, 15.04.2019

Oder so:

1 - a^{- \frac{1}{x}} = 1 - \frac{1}{a^{\frac{1}{x}}} = \frac{a^{\frac{1}{x}} - 1}{a^{\frac{1}{x}}}

mfG

Atlantik

supporter aktiv_icon

15:48 Uhr, 15.04.2019

www.ableitungsrechner.net

HAL9000

16:21 Uhr, 15.04.2019

Nimmt man die naheliegende Substitution

z = \frac{1}{x}

vor, dann bekommt man via

lim_{x \to \infty} x (1 - a^{- \frac{1}{x}}) = lim_{z \to 0 +} \frac{1 - a^{- z}}{z}

,

einen Grenzwert, der viel weniger Kopfschmerzen mit L'Hospital bereitet. Und auf diese Weise wirkt die Beförderung in den Nenner auch etwas plausibler. :-)

jojessi aktiv_icon

13:25 Uhr, 18.04.2019

Danke!

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