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L'Hospital für Reihen ?

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Folgen und Reihen

Tags: Folgen, Reihen

comandante aktiv_icon

18:37 Uhr, 19.03.2011

Hi,

ich hab' eine Frage und zwar, darf ich die Regel von L'Hospital auch für Reihen zur Konvergenzbestimmung anwenden, also innerhalb der Konvergenzkriterien ?

Beispiel : Bestimmung, ob die Reihe $Σ \begin{matrix} \infty \\ n = 1 \end{matrix}$ tan(1/n).

Ich hatte versucht das mit dem Quotientenkriterium zu lösen, die Frage ist, ob ich wie oben angedeutet den L'Hospital benutzen darf oder nicht?

Ich habe auch versucht mit dem Minorantenkriterium zu zeigen, dass die Reihe divergiert. Als Vergleichsreihe habe ich die harmonische Reihe gewählt. Allerdings müsste ich dafür beweisen, dass 1/n < = tan(1/n) , was nicht so einfach war, wie ich dachte.

Vielen Dank für Eure Hilfe!!!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

michaL aktiv_icon

19:46 Uhr, 19.03.2011

Hallo,

Minorantenkriterium ist genau richtig. De L'Hospital wird dir wahrscheinlich wenig bringen beim Quotientenkriterium, da der Grenzwert der Quotienten sicher 1 ist.

Die Abschätzung

\sin (x) \leq x \leq \tan (x)

(für betragskleine

0 \leq x

) wird dir sicher von Nutzen sein. Herleitung entweder über Einheitskreis oder wie folgt:

\frac{s i n (x)}{x} \to 1^{-}

\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \approx \frac{x}{\cos (x)} \geq x

Details sind hier noch nötig!

Mfg Michael

comandante aktiv_icon

20:00 Uhr, 19.03.2011

Hallo Michael,

vielen Dank schon einmal für Deine Antwort. Hab' inzwischen auch herausbekommen, dass ich mit dem Quotientenkriterium keine Antwort bekomme, weil der Grenzwert 1 ist. Wäre es aber mathematisch korrekt, unabhängig davon, ob es zum Erfolg führt, den L'Hospital anzuwenden ?

Die Abschätzung mit sin(1/n) $\leq$ tan(1/n) ist sehr praktisch. Vielen Dank noch einmal dafür.

michaL aktiv_icon

20:23 Uhr, 19.03.2011

Hallo,

natürlich kann man technisch gesehen auf einen Term wie

lim_{n \to \infty} \frac{\tan (\frac{1}{n})}{\tan (\frac{1}{n + 1})}

den L'Hospital anwenden. Aber: es hat halt letztlich keinen Effekt.
Mein Tipp lautet: Verwende

\tan (\frac{1}{n}) \geq \frac{1}{n}

und das Minorantenkriterium.

Mfg Michael

pepe1 aktiv_icon

21:38 Uhr, 19.03.2011

Wenn man l´Hospital verwenden möchte:

lim_{n \to \infty} \frac{tan (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} = lim_{x \to 0} \frac{tan (x)}{x} = lim_{x \to 0} \frac{1}{{cos}^{2} (x)} = \frac{1}{{(lim_{x \to 0} cos (x))}^{2}} = 1

\Rightarrow

es gibt ein

N \in ℕ,

sodaß für

n \geq N

gilt:

\frac{1}{2} < \frac{tan (\frac{1}{n})}{\frac{1}{n}} < \frac{3}{2} \Rightarrow \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{n} < tan (\frac{1}{n})

\Rightarrow

Divergenz mit Minorantenkriterium.

MfG

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