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LR-Zerlegung

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Matrizenrechnung

Tags: Matrizenrechnung

 
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anonymous

anonymous

01:41 Uhr, 10.05.2010

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Hi Community,

muss für eine Präsentationsprüfung einen Vortrag zur LR-Zerlegung vorbereiten. Dazu ein paar Fragen:

1) Welchen Vorteil besitzt die LR-Zerlegung gegenüber dem Gauß-Verfahren? - Habe etwas darüber gehört, dass man sofern sich die rechte/b-Seite ändert bei Gauß alles neu rechnen muss und bei LR nicht. Kann dies leider noch nicht nachvollziehen.
2) Wann funktioniert das LR-Verfahren nicht?
3) Was gibt es außer Gauß/LR-Zerlegung noch für Verfahren?
4) Gibt es andere Fälle, außer beim ändern der rechten/b-Seite, wo das LR-Verfahren besser ist bzw. ist auch mal Gauß besser (abgesehen von nur einer rechten/b-Seite)?
5) Was steckt geometrisch hinter dem LR-Verfahren?
6) Wo wird es alles angewandt? Habe bisher etwas von BWL z.B. Produktion, in der Informatik gehört, jedoch leider nichts genaueres.

Danke schonmal für eure Mithilfe!

Beste Grüße, Joe


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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anonymous

anonymous

15:06 Uhr, 11.05.2010

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Also die LR- oder LU-Zerlegung ist im Prinzip das Gaußverfahren.

Man nehme ein Gleichungssystem Ax=b. Das Gaußverfahren liefert natürlich die Lösung für den Vektor x.
Nimmt man nun eine LU-Zerlegung vor, so erhält man eine neue Gleichung:

A=L⋅U, wobei L eine linke untere (Links oder Lower für die Abkürzungen) und R oder U eine rechte obere (Rechts oder Upper für die Abkürzungen) Dreiecksmatrix ist.

Hat man nur ein Gleichungssystem zu Lösen, macht die LU-Zerlegung natürlich überhaupt keinen Sinn.
Die Matrix U ist die Matrix, die während des Gaußverfahrens entsteht; beim Eliminieren.

Durch die Zerlegung wird aus dem Gleichungssystem A⋅x=b ja LUx=b, wobei man nun

Ux=y setzen kann, um das Gleichungssystem Ly=b zu lösen und in nächsten Schritt
über die Gleichung Ux=y den Lösungsvektor x.

Der Vorteil besteht nun darin, dass L und U Dreiecksmatrizen sind, was dazu führt, dass man zum bestimmen von Lösungsvektoren nur soviele Substitutionsschritte benötigt, wie die Matrix Zeilen bzw. Spalten hat.

Da diese Zerlegung immer gilt, hat man sie ersteinmal gefunden, lässt sich bei wechselndem b in sehr kurzer Zeit der passende Lösungsvektor x bestimmen.

Das LR oder LU verfahren funktioniert immer, wenn man eine Permutationsmatrix P zulässt, mit der man während des Zerlegens Zeilenvertauschungen vorsieht.
Man vertauscht so, dass in der zu zerlegenden Matrix auf der Hauptdiagonalen keine Nullen stehen, wenn man eliminieren möchte.

Dann erhält man eben nicht LUx=b, sondern LUx=Pb, da ja PA=LU ist.

Eine weitere schöne Zerlegung ist die Cholesky-Zerlegung, welche bei symmetrischen,positiv definiten Matrizen funktioniert, sowie die Q R-Zerlegung.
Kannst ja, wenn dich das interessiert, mal beides nachlesen.

Da das LR-Verfahren das Gaußverfahren ist, bzw den Gaußalgorithmus nutzt, um Fälle zu behandeln, wo die rechte Seite sich bei gleich bleibendem System ändert.
Ein weiterer großer Vorteil des LR-Verfahrens fällt mir derzeit nicht ein, sorry^^

Eine Anwendung ist beispielsweise bei der Finite-Elemente-Methode zu finden.
Beschränkt man sich auf Elastostatik, erhält man dort immer Gleichungssysteme der Form

K⋅U=F, wobei K die Matrix der Steifigkeiten ist, wodurch das System modelliert ist, U der Verschiebungsvektor und F der Lastvektor (Angreifende Kräfte, Temperaturen, etc..)

Hat man nun ein System schön modelliert und möchte wissen, wie es auf verschiedene Arten von Lasten reagiert, lohnt sich die LR-Zerlegung sehr.

Hoffe, hat ein wenig geholfen.