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LaGrange-Gleichung mit Beschleunigung

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Beschleunigung, Bewegungsgleichung, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Lagrange, Partielle Differentialgleichungen

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13:43 Uhr, 29.11.2009

Hallo, ich habe für einen Massepunkt die Lagrange-Gleichung

L = \frac{m}{2} v^{2}

gegeben. Wie ändert sich diese, wenn das Koordinatensystem mit a beschleunigt wird? Ich weiß nicht, wohin mit dem

a,

da in der Lagrange-Gleichung zweiter Art ja irgendwie nur

x

und

v

vorkommen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

OmegaPirat

13:56 Uhr, 29.11.2009

also das

L

ist keine Lagrangegleichung sondern eine Lagrangefunktion

Allgemein ist die Lagrange-Funktion gegeben durch

L = T - V

ich weiß nicht ob ich die aufgabe richtig verstanden habe, aber wäre die lagrangefunktion dann nicht einfach

L = \frac{m}{2} \cdot {(v - a \cdot t)}^{2}

?
a und

v

sind dabei als vektoren zu verstehen.
wenn man dies in die lagrange-gleichung einsetzt, erhält man
m*(dv/dt-a)=0
dann tritt durch die beschleunigung des koordinatensystems in der newtonschen bewegungsgleichung eine scheinkraft von

m \cdot a

auf, was auch dann zu erwarten ist.
dieses a darf dabei nicht mit dv/dt verwechselt werden, das sind hier zwei unterschiedliche beschleunigungen.

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14:54 Uhr, 29.11.2009

Ah vielen Dank! Sieht nach dem aus, was erwartet wird. Also so?

\frac{d}{d t} (\frac{\partial L}{\partial \vec{v}}) = 0

\frac{d}{d t} m (\vec{v} - \vec{a} t) = 0

\frac{d}{d t} m \vec{v} - \frac{d}{d t} m \vec{a} t

m \frac{d^{2}}{d t} \vec{x} - m \vec{a} = 0

Bin da immer noch holprig.

Und noch ne kleine Zusatzfrage, wenn ich von der ursprünglichen Gleichung die Geschwindigkeit

\vec{u}

abziehe, soll ich auf die gleiche Bewegungsgleichung kommen, also für

L = \frac{m}{2} {\vec{v}}^{2}

und

L' = \frac{m}{2} {(\vec{v} - \vec{u})}^{2}

.
Ich erhalte ja

\frac{d}{d t} m \vec{v} = 0

und

\frac{d}{d t} m (\vec{v} - \vec{u}) = 0

Sind die jetzt gleich, nur weil beide 0 ergeben?

OmegaPirat

18:15 Uhr, 29.11.2009

die sind gleich, weil der vektor

u

bzgl. der Zeit eine Konstante ist und wenn du die zeitableitung durchführst wird der Teil verschwinden.

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18:28 Uhr, 29.11.2009

Okay, sorry, dass ich dich mit dummen fragen löchern muss, aber erhalte ich nicht einen Beschleunigungsvektor wenn ich die Geschwindigkeit nach der Zeit ableite? Oder weiß ich, dass der den Wert 0 hat, weil in der ursprünglichen Lagrange-Gleichung keine Beschleunigung auftaucht?

OmegaPirat

19:33 Uhr, 30.11.2009

im allgemeinen erhälst du einen beschleunigungsvektor, wenn du einen geschwindigkeitsvektor nach der zeit differenzierst.

Die steigung eines geschwindigkeits-zeit-gesetzes ist ja die beschleunigung, wenn die geschwindigkeit aber ne konstante ist, so ist die steigung null, schließlich liegt ja dann auch keine beschleunigung vor.
Der Vektor

u

in deinem fall ist ein konstanter geschwindigkeitsvektor. Dann trägt er auch nicht zur beschleunigung bei. Es sei denn

u,

wäre nicht konstant.

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10:41 Uhr, 01.12.2009

Vielen Dank!

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