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Länge des Stabes Wahrscheinlichkeit

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Zufallsvariablen

Tags: Wahrscheinlichkeitsmaß, Zufallsvariablen

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21:10 Uhr, 18.11.2021

In der Situation von Beispiel 5 sei

Q

der Quotient

L 1 / L 2

aus der Länge

L 1

des kürzeren Stückes und der Länge

L 2

des längeren Stückes des zerbrochenen Stabes. Bestimmen Sie die Verteilungsfunktion

F Q

sowie eine Dichte

f Q

von

Q

Bsp 5 :
Ein Stab der Länge L > 0 wird zufällig in zwei Stücke zerbrochen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit,dass das größere Stück mindestens doppelt so lang ist wie das kleinere Stück?

Wir modellieren die Bruchstelle des Stabs durch die Gleichverteilung auf

B = (0, L)

, also

P = U (0, L)

. Das gesuchte Ereignis ist

A = (0, L / 3] \cup [2 L / 3, L)

. Die geometrische Wahrscheinlichkeit ist dann

P (A) = λ ((0, L / 3] \cup [2 L / 3, L)) / λ ((0, L)) = 2 / 3

Alternativ können wir zur selben Lösung kommen, indem wir die Dichte der stetigen Gleichverteilung auf (0,L) heranziehen:

Mein Ansatz:ich weiß, dass L1 die Länge aus dem Intervall des Ereignisses A hat und ich weiß dementsprechend dass L2 dann die Länge

L 2 = (0, L) / A

haben müsste.

Würde gerne wissen wie ich vorangehen und ob mein ansatz richtig sei ?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

HAL9000

21:50 Uhr, 18.11.2021

Bsp 5 entspricht Verteilungsfunktionswert

F_{Q} (\frac{1}{2})

. Die Überlegungen kann man auch auf

F_{Q} (x)

für beliebiges

0 < x \leq 1

übertragen: Mit

L_{2} = L - L_{1}

folgt

F_{Q} (x) = P (\frac{L_{1}}{L_{2}} \leq x) = P (L_{1} \leq (L - L_{1}) x) = P (L_{1} \leq \frac{x}{1 + x} L) \overset{!}{=} \frac{2 x}{1 + x}

,

letzteres resultiert daher, weil man die KLEINERE Teilungslänge

L_{1}

als stetig gleichverteilt auf dem Intervall

[0, \frac{L}{2}]

betrachten kann.

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22:01 Uhr, 18.11.2021

ich habe nicht verstanden wie du auf 2x/x+1 gekommen bist

HAL9000

22:28 Uhr, 18.11.2021

Gerade diesen letzten Schritt habe ich doch erläutert. Und vorher fanden lediglich äquivalente Ungleichungsumformungen statt.

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23:08 Uhr, 18.11.2021

ja okay aber woher hast du das genau entnommen, dass es so ist ?

HAL9000

23:42 Uhr, 18.11.2021

Du zeigst immer wieder aufs neue deinen Unwillen, auch mal kleinste Schritte selbst zu bewältigen...

Man wählt einen Punkt

Y

gleichverteilt stetig auf

[0, L]

, dann bekommen wir die Teilstrecken

Y

und

L - Y

. Die kleinere der beiden soll nun

L_{1}

sein, die größere

L_{2}

. Dann gilt für

0 \leq t \leq \frac{L}{2}

P (L_{1} \leq t) = P (L_{1} = Y \leq t) + P (L_{1} = L - Y \leq t)

= P (Y \leq t) + P (Y \geq L - t) = \frac{t}{L} + \frac{L - (L - t)}{L} = \frac{2 t}{L} = \frac{t}{L / 2}

N8eule

14:33 Uhr, 19.11.2021

Wenn ich ergänzen und vorschlagen darf,
nimm ein Blatt Papier,
zeichne einen Strich drauf, und mach dir klar, wo dessen Anfang und Ende ist,
jetzt nimm einen Bleistift und mach dir klar, wo du 'trennen' mußt, um das linke Teilstück gerade doppelt so lange zu machen, wie das rechte.
dann nimm einen Farbstift und mach dir klar, wo du 'trennen' mußt, um das rechte Teilstück gerade doppelt so lange zu mache, wie das linke.

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14:57 Uhr, 21.11.2021

deine rechnung war klar, ich wollte nur nochmal sicher gehen woher du die Gleichverteilung-Annahme hattest.

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15:40 Uhr, 21.11.2021

ich habe jetzt nochmal nachgerechnet, also ich habe den letzten schritt verstanden, obwohl der eig einfach war. Manchmal braucht man echt etwas pause. Ich hätte eine frage wie du von

(L - L 1) x

auf den Term danach gekommen bist ?

HAL9000

16:44 Uhr, 21.11.2021

Banale Ungleichungsumformung (Mittelstufe), nochmal von Anfang an:

\frac{L_{1}}{L_{2}} \leq x ∣ \cdot L_{2} > 0

L_{1} \leq L_{2} x ∣ L_{2} = L - L_{1}

L_{1} \leq (L - L_{1}) x ∣ Distributivgesetz (Ausmultiplizieren)

L_{1} \leq L x - L_{1} x ∣ + L_{1} x

L_{1} \cdot 1 + L_{1} \cdot x \leq L x ∣ Distributivgesetz (Ausklammern)

L_{1} \cdot (1 + x) \leq L x ∣ : (1 + x) > 0

L_{1} \leq \frac{L x}{1 + x}

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17:25 Uhr, 21.11.2021

also ich gehe gleich meinen account sperren , das war zu viel dummheit für heute

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