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Länge einer Astroide

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Astroide, Integration, Paramterform

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derwurm

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17:52 Uhr, 22.04.2015

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Heyho Mathefreunde,

Ich möchte die Länge der Astroide berechnen:

x^{\frac{2}{3}} + y^{\frac{2}{3}} = a^{\frac{2}{3}}

Vom Punkt

A (a,0)

bis

B (0, a)

Da dies einfacher in der Parameterdarstellung ist, habe ich die Astroide in eine solche umgeformt.

Dadurch ergibt sich:

x = a \cdot {cos}^{3} (t), y = a \cdot {sin}^{3} (t)

Nun bin ich einwenig verwirrt, da ich Nicht weiß was als nächstes zu tun ist.
Wie muss ich das Integral zu Berechnung der Bogenlänge bilden bzw. welche Grenzen sind zu setzen oder lieg ich hier ganz falsch? :-D)

Danke im Vorraus

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Online-Nachhilfe in Mathematik

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18:10 Uhr, 22.04.2015

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Das Ergebnis ist sehr einfach.

l = \frac{3}{2} \cdot a

Bzw. die Länge in Abhängigkeit von

t (

im Intervall

0 \leq t \leq \frac{π}{2})

l (t) = \frac{3}{2} \cdot a \cdot {sin}^{2} (t)

derwurm

derwurm aktiv_icon

18:16 Uhr, 22.04.2015

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Danke, aber könntest du mir bitte noch sagen wie man darauf kommt? :-D)
Wüsste gerne wie du das mit den Punkten A und

B

gemacht hast.

Antwort

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18:22 Uhr, 22.04.2015

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Schau den Graph an. Parametermäßig entspricht das von

t = 0

bis

t = \frac{π}{2}

Antwort

Respon

18:23 Uhr, 22.04.2015

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Siehe dazu diese Animation
http//en.wikipedia.org/wiki/Astroid

Antwort

Respon

18:28 Uhr, 22.04.2015

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Wenn du es "händisch" berechnen willst:

l = \int_{t = 0}^{t = \frac{π}{2}} \sqrt{{[x' (t)]}^{2} + {[y' (t)]}^{2}} d t

( wenn ich mich nicht irre )

Antwort

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18:38 Uhr, 22.04.2015

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l = 3 \cdot a \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} \sqrt{{cos}^{4} (t) \cdot {sin}^{2} (t) + {cos}^{2} (t) \cdot {sin}^{4} (t)} d t = 3 \cdot a \cdot \int_{0}^{\frac{π}{2}} cos (t) \cdot sin (t) d t = 3 \cdot a \cdot \frac{1}{2} \cdot {sin}^{2} (t) |_{0}^{\frac{π}{2}} = . .

.

Antwort

Respon

18:39 Uhr, 22.04.2015

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muss offline gehen. Hoffentlich hat's geholfen.

Frage beantwortet

derwurm

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19:05 Uhr, 22.04.2015

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Vielen Dank :-)

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