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Länge einer Kreisbewegung berechnen

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Länge einer Kurve

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17:23 Uhr, 31.03.2022

Ich soll die Länge der beiden Funktion für die verschiedenen Parameter ausrechnen.
Mein Ansatz war dabei es mit dem Kurvenintegral 1. Art zu berechnen.
Bei den Lösungen bemerkte ich jedoch, dass meine Gesamtlänge gleich 0 ist, da ich bei beiden Funktionen eine geschlossene Kurve habe.
Ich habe auch zwei Bilder der Funktion mit angehängt
Habt ihr eine Idee wie ich die Länge der beiden Funktion ausrechnen könnte?

% Kreisfunktion

x = v * t + A * s i n (2 * p i * f * t - p i / 2)

y = A * s i n (2 * p i * f * t)

% Achterweg

x 2 = - A * s i n (2 * p i * f * t) - v * t

y 2 = - A * s i n (2 * p i * (f / 2) * t)

Mit
t = Zeit in s
v = Schweißgeschwindigkeit in mm/s
a = Amplitude in mm
f = Frequenz in Hz

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

21:59 Uhr, 31.03.2022

Hallo
du sollst das ja wohl nur für

t = 0

bis

T = \frac{1}{f}

ausrechnen, dann kann nicht 0 rauskommen es sei denn

v = 0

. nach

T

wiederholt sich ja das ganze, also hast du nur

n

mal die Länge. Die Kurve ist wegen des Vortriebs mit

v

nicht geschlossen, was du ja auch an deinem Plot siehst.
sonst rechne mal vor!
Gruß lul

ledum aktiv_icon

21:59 Uhr, 31.03.2022

Hallo
du sollst das ja wohl nur für

t = 0

bis

T = \frac{1}{f}

ausrechnen, dann kann nicht 0 rauskommen es sei denn

v = 0

. nach

T

wiederholt sich ja das ganze, also hast du nur

n

mal die Länge. Die Kurve ist wegen des Vortriebs mit

v

nicht geschlossen, was du ja auch an deinem Plot siehst.
sonst rechne mal vor!
Gruß lul

Roman-22

00:43 Uhr, 01.04.2022

>

dann kann nicht 0 rauskommen es sei denn

v = 0

?? Auch wenn

v = 0

ist kommt nicht Null raus. Dann haben wir ja im ersten Fall einen geschlossenen Kreis und da liefert auch das Wegintegral die Länge

2 π \cdot A

.
Nur wenn der Vortrieb

v

nicht Null ist wird das Integral recht unangenehm

\to

elliptisches Integral zweiter Art. Da wird man dann wohl konkrete Zahlen benötigen damit man die Länge wenigstens mit einem Näherungsverfahren bestimmen kann.

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11:06 Uhr, 01.04.2022

Ich hab das Kurvenintegral 1. Art nach der Zeit berechnent, da die anderen Parameter v,A,f konstante Werte sind. Wie kommst du darauf das es ein elliptisches Integral ist?

Roman-22

13:27 Uhr, 01.04.2022

>

Ich hab das Kurvenintegral 1. Art nach der Zeit berechnent, da die anderen Parameter

v, A, f

konstante Werte sind.
Ja, die Kurven sind mit

t

parametrisiert und natürlich sind die anderen Größen

A, f

und

v

dann als konstant (aber nicht notwendigerweise Null!) anzusehen.

Du hast also die Kurve

K (t) = (\begin{matrix} x_{1} (t) \\ y_{1} (t) \end{matrix})

und das Skalarfeld

g (x, y) = 1

und sollst

s_{1} = \int_{0}^{\frac{1}{f}} g (x, y) \cdot | \dot{K} (t) | d t

berechnen. Das führt dann natürlich auf die "gewöhnliche" aus dem Schulunterricht bekannte Formel für die Bogenlänge einer Kurve in Parameterdarstellung

s_{1} = \int_{0}^{\frac{1}{f}} \sqrt{{\dot{x}}_{1}^{2} (t) + {\dot{y}}_{1}^{2} (t)} d t

I.A. stellt sich mMn ein elliptisches Integral ein, welches nicht elementar lösbar ist, wenn wir von den Spezialfällen

v = 0

(Kreis,

s_{1} = 2 π A)

und

v = 2 π A f

(Zykloide,

s_{1} = 8 A)

einmal absehen.

Vielleicht möchtest du einmal deine komplette Rechnung hier vorstellen damit wir sehen, was du gemacht hast und warum du auf das Ergebnis Null kommst.

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18:15 Uhr, 02.04.2022

Hier ist meine Berechnung. Ich hoffe man kann das gut erkennen.

ledum aktiv_icon

19:58 Uhr, 02.04.2022

Deine Wunderformel um

\sqrt{f (x)}

zu integrieren ist leider sehr falsch,

a)

differenziere die rechte Seite . oder setz mal

f (x) = x^{2}

ein
Gruß ledum

Roman-22

22:49 Uhr, 02.04.2022

Hast du dir diese "Regel" fürs Integrieren von

\sqrt{f (x)}

selbst ausgedacht oder von irgendwo falsch übernommen?
Sie funktioniert jedenfalls nur, wenn

f (x)

eine lineare Funktion ist.
Für

f (x) = a \cdot x + b

gilt tatsächlich

\int g (f (x)) d x = G (f (x)) \cdot \frac{1}{f' (x)} + C

oder eben

\int g (a \cdot x + b) d x = \frac{1}{a} \cdot G (a \cdot x + b) + C

. Dabei soll

G (x)

eine Stammfunktion von

g (x)

bezeichnen.
Merkt man sich das als Regel, erspart man sich das langwierige explizite Anschreiben der linearen Substitution.

Aber eine allgemein gültige Kettenregel fürs Integrieren gibt es leider nicht!

MeHigh aktiv_icon

10:53 Uhr, 03.04.2022

ich hab lange nach einem weg gesucht, wie ich die Wurzel integriere und habe diese gefunden:

\int \sqrt{a x + b} d x = \frac{2}{3} (a x + b)^{\frac{3}{2}} * \frac{1}{a}

ich verstehe deinen Ansatz nicht ganz mit

f (x) = x^{2}

Könnten du das bitte näher erklären.

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10:55 Uhr, 03.04.2022

ich hab lange nach einem weg gesucht, wie ich die Wurzel integriere und habe diese in der Formelsammlung gefunden:

\int \sqrt{a x + b} d x = \frac{2}{3} (a x + b)^{\frac{3}{2}} * \frac{1}{a}

Ich dachte, das wäre der richtige Weg, da auch eine Weglänge als Einheit rauskommt.
Wie könnte ich bei mir die Wurzel integrieren?

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10:55 Uhr, 03.04.2022

ich hab lange nach einem weg gesucht, wie ich die Wurzel integriere und habe diese in der Formelsammlung gefunden:

\int \sqrt{a x + b} d x = \frac{2}{3} (a x + b)^{\frac{3}{2}} * \frac{1}{a}

Ich dachte, das wäre der richtige Weg, da auch eine Weglänge als Einheit rauskommt.
Wie könnte ich bei mir die Wurzel integrieren?

N8eule

11:58 Uhr, 03.04.2022

Hallo
Darf ich ergänzend einen pragmatischen Ansatz ansprechen:
"Vorschub, Schweißen" lässt doch arg ahnen, dass hier keine hoch-präzise Mathematik erforderlich ist, sondern ein pragmatisch technische Vorgehensweise mindestens so nützlich wäre.
Welche Genauigkeit erwartest du? Kommt es dir auf zwei / drei Millimeter an? Taugt nicht eine ordentliche Näherung mindestens ebenso, wie eine tagelang mühsame exakte Herleitung?

ledum aktiv_icon

12:08 Uhr, 03.04.2022

Hallo
du kannst doch eine Regel, die für eine lineare Funktion f(x)=ax+b stimmt nicht auf ein beliebiges

f

anwenden?
Regel Nr1 beim integrieren: Wenn man nicht sicher ist, das Ergebnis differenzieren,
das

f (x) = x^{2}

in deine "Formel " einzusetzen war der Rat, schnell zu sehen, dass die Formel falsch ist den

\sqrt{x^{2}} = x

kannst du ja direkt integrieren oder die Formel anwenden, um zu sehen, dass sie nicht stimmt.
Es gibt einfach KEINE Formel um allgemein

\sqrt{f (x)}

zu integrieren, deshalb hatte dich ja schon

R

auf elliptische Integrale hingewiesen .
Wenn du das für die Praxis brauchst, lass es dir mit bestimmten Grenzen von wolfram etwa ausrechnen, sonst brauchst du ein numerisches Verfahren.
Gruß ledum

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15:57 Uhr, 03.04.2022

Ja ich brauch keine exakte Berechnung. Mir reicht eine Näherung +- 10mm. Ich werde bei meiner Masterarbeit verschiedene Parameter beim Schweißen ausprobieren.
Und mit dem Integral kann ich im Matlab die verschiedenen Parameter einsetzen und dann die Weglänge ungefähr bestimmen.
Ich finde bloß keinen Weg das Integral zu bilden..

Roman-22

16:20 Uhr, 03.04.2022

>

ich hab lange nach einem weg gesucht, wie ich die Wurzel integriere und habe diese in der Formelsammlung gefunden:
Ja, und die Formel, die du da gefunden hast, ist auch richtig. Ich hatte schon vermutet, dass du eine Formel für das Integral aus der Wurzel einer LINEAREN FUNKTION fälschlicherweise auf beliebige Funktionen verallgemeinert hat. Leider funktioniert das aber nicht.

>

Wie könnte ich bei mir die Wurzel integrieren?
Wie oben schon geschrieben - gar nicht (mit Ausnahme der beiden speziellen Werte für

v,

bei denen entweder ein Kreis oder eine Zykloide rauskommt und die für deine Zwecke vermutlich beide nicht brauchbar sind).

Mit einem CAS kannst du dir bei Angabe konkreter Werte für

A, f

und

v

das Integral numerisch berechnen lassen. Händisch wär das wohl zu mühsam. Auch manche Taschenrechner haben eine Funktion zum numerischen Integrieren und liefern das Ergebnis auf Knopfdruck. Allerdings eben keine allgemeine Formel sondern nur ein numerisches Ergebnis für konkrete Eingabewerte.
Man kann auch eine Näherungsformel herleiten indem man zB den Integranden in eine Potenzreihe entwickelt, diese nach ein paar Gliedern abbricht und diesen Näherungsausdruck dann integriert. Das Ergebnis ist da idR ungenauer als das Iterationsverfahren, dass ein numerischer Rechenknecht durchläuft, aber man hat da dann eine allgemein Formel.
Das Ergebnis hängt übrigens nur von A und dem Verhältnis

v : f

ab.

\frac{v}{f}

ist jene Länge, die nach einer Periode in x-Richtung vermöge des Vorschubs zurückgelegt wird.

Eine mögliche Näherungsformel ist zB

L a e n g e = \sqrt{4 π^{2} A^{2} + {(\frac{v}{f})}^{2}}

Du musst selbst entscheiden, ob dir da di Genauigkeit genügt. Der Fehler wird größer bei kleineren Werten für A und/oder bei größeren Werten für

\frac{v}{f}

.
Im Anhang ein Screenshot mit ein paar Eingabewerten inkl. Angabe des Fehlers in Prozent.

Eine bessere Näherung erhält man mit Simpson mit zwei Doppelstreifen. Siehe zweites Bild.

EDIT:

>

Mir reicht eine Näherung

\pm

10mm.
Für einen Zykel? Kommt ja wohl auch auf die Eingabegrößen an. Eine Fehlerangabe in % wäre sinnvoller.

>

Und mit dem Integral kann ich im Matlab die verschiedenen Parameter einsetzen und dann die Weglänge ungefähr bestimmen.
Na, wenn dir Matlab zur Verfügung steht, hast du doch ohnedies einen mächtigen Werkzeugkasten numerischen Methoden an der Hand. Da sollte die numerische Berechnung des Integrals ja kein Problem sein.

>

Ich finde bloß keinen Weg das Integral zu bilden..
??? Was meinst du damit?
Du musst das Integral nicht symbolisch auswerten (das geht eben nicht) um in MatLab einen numerischen Wert zu erhalten.

MeHigh aktiv_icon

12:07 Uhr, 04.04.2022

Vielen Dank für deine Hilfe!

Mir war nicht klar, dass man dieses Integral nur näherungsweise berechnen kann.

Mein Schweißbereich ist ein Blech von einer Länge von 35 mm und 200 µm Blechstärke.
Mit der Geschwindigkeit werde ich min. bis 300 mm/s gehen, vielleicht auch höher.
Die Amplitude ist mit 2.5 mm fürs erste festgelegt.
Mein Ziel ist eine Schweißlänge von 500-550 mm zu erreichen, damit ich beide "Wege" in meiner Arbeit vergleichen kann.

Wie bist du auf die Formel

L a e n g e = \sqrt{4 π^{2} A^{2} + (\frac{v}{f})^{2}}

und die andere mit der "Simpson und zwei Doppelstreifen" gekommen?

Wo kann ich das nachschauen? Könntest du mir eine Quelle geben?

Kann ich die beiden Formeln auch für den "Achterweg" verwenden?

Roman-22

13:13 Uhr, 04.04.2022

Die Formel mit der Wurzel hat sich wie beschrieben aus der Potenzreihenentwicklung ergeben.
Die Simpson-Formel zur näherungsweisen Berechnung von Integralen sollte sich leicht finden lassen, zB auch bei Tante Wiki: de.wikipedia.org/wiki/Simpsonregel
Mit zwei Doppelstreifen ist es nur nötig, die zu integrierende Funktion an fünf Stellen (all Vielfachen von

\frac{π}{2}

von 0 bis

2 π)

auszuwerten.

Für die Achterbewegung gelten die angegebenen Formel nicht. Hier müsste für eine Achterfigur wegen der halben Frequenz bei

y (t)

und damit der doppelten Periodendauer das Integral von 0 bis

\frac{2}{f}

laufen.
Ich hatte kurz versucht, dafür auf ähnlichem Weg wie für die Kreisbewegung entsprechende Näherungsformel aufzustellen, aber sie waren alle viel zu ungenau und daher unbrauchbar.

Aber du kannst mit MatLab bei konkreten Angabewerten ja die nötigen Integrale sofort in beliebiger Genauigkeit auswerten lassen und das auf Knopfdruck. Wozu also Näherungsformeln?

Ich häng mal zwei Berechnungen mit

v = 300 \frac{m}{s}

hier an, Für die Frequenz, die du nicht angibst, habe ich

200

Hz gewählt (bei der Achter-Figur verdoppelt). Abgesehen von der Länge einer Einzelfigur hab ich auch noch ein paar andere Werte berechnen lassen - keine Ahnung ob die Werte so realistisch sind. Jedenfalls kannst du die Berechnungen genau so auch mit MatLab durchführen lassen. Sieht dort sicher anders aus, aber die Ergebnisse sollten die gleichen sein. Ich habe Mathcad verwendet da dieses Programm die einigermaßen "natürliche Darstellung von Berechnungen erlaubt und daher für Dokumentationen von Berechnungen gut geeignet ist (ich würde die Anschaffung des Programms aber aus verschiedene Gründen heute nicht mehr empfehlen). Die mathematischen Fähigkeiten sind bei MatLab aber genau so (ja sogar deutlich besser) vorhanden.
Es gibt übrigens auch einen kostenfreien Klon von Mathcad, den ich aber im Moment nicht ausprobieren kann