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Länge und Orthogonalität von Vektoren

Schüler Gymnasium, 12. Klassenstufe

Tags: Bedingungen aufstellen, koordinaten bestimmen, Skalarprodukt, Vektor

Hamid009 aktiv_icon

21:43 Uhr, 01.11.2026

Ich habe hier eine Matheaufgabe, wobei ich eine bestimmte Verständnisfrage habe.

Die Aufgabe lautet: Gib zwei weitere Punkte

R

und

S

an, so dass die Vektoren PR und PS auf der Geraden

g : x = (- 4 | 0 | 25) + k (- 4 | - 1 | 10)

senkrecht stehen und den Betrag 3 haben (Das ist eine Parametergleichung, falls man das nicht erkennt). Außerdem hat der Punkt

P

die Koordinaten

(4 | 2 | 5)

.

Mein Ansatz wäre, dass man erstmal zwei Bedingungen aufstellt. Einerseits muss die Länge des Vektors PR und PS gleich 3 sein, also für den Vektor PR wäre das: |PR|=

\sqrt{{(r_{1} - 4)}^{2} + {(r_{2} - 2)}^{2} + {(r_{3} - 5)}^{2}} = 3

bzw. wenn man beide Seiten quadriert, dann wäre links die Wurzel weg und rechts würde 9 statt 3 stehen. Die zweite Bedingung wäre, dass das Skalarprodukt vom Richtungvektor der Geraden

g

und dem Vektor PR gleich 0 ergibt, was folgende Gleichung ergeben würde:

- 4 r_{1} - r_{2} + 10 r_{3} = 32

. Ich lasse mal den Vektor PS jetzt raus, aber der Ansatz sollte klar sein.

Nun könnte man eine beliebige Variable wählen

(r_{1}

oder

r_{2}

oder

r_{3})

und für eines dieser Variablen eine beliebige Zahl einsetzen. Jedenfalls so wie ich es verstanden habe und so die anderen Variablen nacheinander bestimmen. Aber wieso ist das möglich? Wieso kann man für eine Variable einfach irgendeine Zahl einsetzen bzw. einfach eines der drei Koordinaten vom Ortsvektor

r

frei wählen.

Ich habe das nochmal verschriftlicht, welcher im Anhang hinterlegt ist

〈

.

Danke nochmal im Voraus.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Parallelverschiebung
Rechnen mit Vektoren - Einführung
Rechnen mit Vektoren - Fortgeschritten
Skalarprodukt

Jumanji

22:01 Uhr, 01.11.2026

Es gibt zwei Möglichkeiten, sich das zu erklären.
Algebraisch hast Du drei Variablen und zwei Gleichungen (=Bedingungen), daher ist eine Variable frei wählbar.
Geometrisch gesehen betrachte die Ebene senkrecht zum Richtungsvektor der Geraden im Punkt

P,

somit erfüllen alle Punkte dieser Art Ebene auf einem Kreis mit Radius 3 um den Punkt

P

diese Bedingung.

Randolph Esser aktiv_icon

00:33 Uhr, 02.11.2026

Hello Hamid09,

seien also

g : ℝ \to ℝ^{3}, k \mapsto (\begin{matrix} - 4 \\ 0 \\ 25 \end{matrix}) + k (\begin{matrix} - 4 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix})

und

P := (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix})

.

Dann würde ich so vorgehen:

Zuerst zwei zum Richtungsvektor von

g

orthogonale und linear unabhängige Vektoren bestimmen,

also zwei Vektoren

a, b \in ℝ^{3},

sodass

< (\begin{matrix} - 4 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}), a > = < (\begin{matrix} - 4 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}), b > = 0

und

λ_{1} \cdot a + λ_{2} \cdot b = 0 \Leftrightarrow λ_{1} = λ_{2} = 0

für alle

λ_{1}, λ_{2} \in ℝ

gilt.

Als einfache Lösung bieten sich hier

a := (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

und

b := (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix})

an.

Nun ist

U := {P + p \cdot a + q \cdot b : p, q \in ℝ}

die Ebene,

die

P

enthält und von

g

senkrecht geschnitten wird,

also musst Du nur noch zwei Punkte aus

U

angeben, die zu

P

den Abstand 3 haben.

Dafür bietet es sich an, einmal

p = 0

und einmal

q = 0

zu setzen, also

9 = 3^{2} = {| P - (P + q \cdot b) |}^{2} = {| q \cdot b |}^{2} = q^{2} \cdot {| b |}^{2} = 29 \cdot q^{2}

und

9 = 3^{2} = {| P - (P + p \cdot a) |}^{2} = {| p \cdot a |}^{2} = p^{2} {| a |}^{2} = 17 \cdot p^{2}

als Ansatz zu wählen.

Wir erhalten

q = \pm \frac{3}{\sqrt{29}}, p = \pm \frac{3}{\sqrt{17}}

und können damit

R := P + | q | \cdot b = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{3}{\sqrt{29}} \cdot (\begin{matrix} 5 \\ 0 \\ 2 \end{matrix}),

S := P + | p | \cdot a = (\begin{matrix} 4 \\ 2 \\ 5 \end{matrix}) + \frac{3}{\sqrt{17}} \cdot (\begin{matrix} 1 \\ - 4 \\ 0 \end{matrix})

angeben.

Hamid009 aktiv_icon

09:39 Uhr, 02.11.2026

Hey, ich habe mir deinen Kommentar durchgelesen (Jumanji) und ich verstehe deinen Punkt nicht ganz.

Ich verstehe nämlich nicht, woher du die Ebene hast? Denn die Frage habe ich bereits versucht mit KI zu lösen, aber irgendwie werde ich nicht schlauer. Kannst du mir erklären, wo du bei dieser Aufgabenstellung/Gleichungen die Ebene erkennst?

Jumanji

09:58 Uhr, 02.11.2026

Du nimmst Deine Gerade, nun konstruierst Du eine Ebene durch den Punkt

P

mit dem Richtungsvektor der Geraden als Normalenvektor. Dann hast Du Deine senkrechte Ebene auf der Geraden. Alle Punkte der Ebene, die auf einem Kreis um

P

mit Radius 3 liegen, erfüllen die gesuchte Bedingung, denn die Verbindungsvektoren zu

P

liegen in der Ebene, sind somit orthogonal zur Geraden und haben die Länge 3.

Ich hoffe, die Skizze macht es klarer.

Hamid009 aktiv_icon

10:08 Uhr, 02.11.2026

Hey Randolph, auch deine Antwort habe ich versucht nachzuvollziehen, wobei ich dazu eine Menge Fragen habe. Wie ich sehe, hast du mir gezeigt, wie man auf die Ebenengleichung kommt, welche die Gerade senkrecht schneidet. Hier verstehe ich jedoch nicht wie du auf die Ebenengleichung gekommen bist. Einerseits schreibst du

ℝ

–>

ℝ^{3}

aber was meinst du damit genau. Des Weiteren steht in einer Zeile

a, b \in ℝ^{3},

sodass

< (\begin{matrix} - 4 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}), a > = < (\begin{matrix} - 4 \\ - 1 \\ 10 \end{matrix}), b > = 0,

was soll aber a und

b

darstellen, sind das kleiner/größer Zeichen , die du benutzt hast und was genau bedeutet diese Zeile genau. Danach schreibst du das

λ_{1} \cdot a + λ_{2} \cdot b = 0 \Leftrightarrow λ_{1} = λ_{2} = 0

für alle

λ_{1}, λ_{2} \in

gilt, wobei ich das auch nicht ganz verstehe, da ich nicht weiß, was du mit

λ

meinst. Natürlich baut das alles nacheinander auf und ich bin mir sicher, dass wenn du einen Schritt erklärst ich auch den nächsten einigermaßen verstehen werde.

Jumanji

10:19 Uhr, 02.11.2026

Ein einfacher Rechenweg wäre, einen beliebigen Vektor

v

zu suchen, der senkrecht auf

(- 4, - 1,10)

steht, also die Gleichung

- 4 x - y + 10 z = 0

zu lösen. Da es nicht auf die Werte ankommt, machst Du es Dir leicht und wählst

z . B

z = 0

und erhältst

z . B

v = (1, - 4,0)

(Probe machen!).
Nun noch den Vektor

v

auf die Länge 3 bringen, nennen wir diesen

w,

also w=3*v/lvl
Deine beiden gesuchten Punkte sind dann OR=OP+w und OS=OP-w, fertig.

Hamid009 aktiv_icon

10:38 Uhr, 02.11.2026

Also ich versuche mal auf beide deiner Kommentare einzugehen. Das Problem, was ich habe, ist, dass man für eine Ebenengleichung zwei Spannvektoren benötigt und bei dieser Aufgabenstellung bzw. so wie du mir das illustriert hast, Spannvektoren braucht, die zudem senkrecht zur Geraden sind. Vielleicht habe ich das bei dir auch einfach nur übersehen, aber wie bekommt man die Spannvektoren für so eine Ebene heraus. Die Bilder waren übrigens sehr hilfreich aber mir fehlt da der rechnerische Ansatz. Im zweiten Kommentar hast du mir gezeigt, dass ich erstmal einen Vektor mittels des Skalarprodukts bestimme der senkrecht zur Geraden ist, was ich auch verstanden habe. Aber den letzten Punkt, also wie du den Radius auf 3 Einheiten eingeschränkt hast und dann die Koordinaten der Ortsvektoren berechnest ist mir immer noch unschlüssig.

Jumanji

10:44 Uhr, 02.11.2026

Es gibt drei Arten eine Ebene zu beschreiben, die Parameterdarstellung (mit den Spannvektoren), die Normalenform (mit dem Normalenvektor) und die Koordinatenform. Alle drei lernt ihr in der Schule.
Hier ist die Normalenform die einfachste, du brauchst dann nur einen senkrechten Vektor, was offensichtlich der richtungsvektor der geraden ist - lies das nach.
Die Länge eines Vektors

v

dividiert durch seinen Betrag ist immer

1 -

auch das nachsehen. Somit hat

w

dann die Länge 3.
Im letzten Schritt läufst Du nun vom Punkt

P

einmal in Richtung

w

und einmal in Richtung

- w

1592747

1592737

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