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Längenberechnung von Kurven

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Tags: Funktion, Funktionenfolgen, Gewöhnliche Differentialgleichungen, Graphentheorie, Körper, Länge einer Kurve, Linear Abbildung, Partielle Differentialgleichungen, Skalarprodukt

NullChecker24 aktiv_icon

16:15 Uhr, 13.08.2019

Bis zum gelbmarkierten verstehe ich es, aber wie komme ich auf -4cos..? Ich weiß, Sinus integriert ist

- cos,

aber die 4?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Raummessung
Skalarprodukt

ermanus aktiv_icon

16:20 Uhr, 13.08.2019

Hallo,
du musst substituieren:

t = 2 u

.
Gruß ermanus

Roman-22

16:33 Uhr, 13.08.2019

Hier wird die Regel für lineare Substitution verwendet.
Da diese häufig vorkommt und recht einfach ist, empfiehlt es sich, diese gar nich mehr explizit als Substitution aufzuschreiben, sondern direkt

\int f (a \cdot x + b) d x = \frac{1}{a} \cdot F (a \cdot x + b) + C

zu verwenden, wobei

F ()

eine Stammfunkion von

f ()

bezeichnen soll.
Es ist ein wenig wie bei der Kettenregel beim Differenzieren - integriert wird nur die äußere Funktion und durch die Ableitung der inneren (durch den Koeffizienten des linearen Glieds) wird dividiert. Allerdings kann man nicht oft genug betonen, dass dies NUR bei einer linearen inneren Funktion so geht!

In deinem Fall ist

f () = sin ()

und

a = \frac{1}{2}

. Damit ist

\frac{1}{a} = 2

und das liefert dann mit dem Faktor 2 vorm Integral die 4 und nach Auswertung des bestimmten Integrals dann eben die Bogenlänge 8 dieser Zykloide.

NullChecker24 aktiv_icon

19:20 Uhr, 13.08.2019

Da muss also deshalb der Faktor 4 dahin, da -4cos(..) abgeleitet wieder

- 4 \cdot \frac{1}{2}

ergeben würde? Oder versteh ich das falsch?

Roman-22

21:50 Uhr, 13.08.2019

So kannst du es auch sehen. Das wäre dann halt nur die Probe durch Differenzieren des Ergebnisses und bestätigt, dass die Regel funktioniert.
Natürlich kannst du bei der Linearen Substitution den Faktor

\frac{1}{a}

immer so argumentieren, dass er quasi von der innere Ableitung bei der Kontrollableitung kommt.

Die Regel, die ich vorher angegeben hatte, ist ja

i . W

. nur ein Spezialfall von

\int f (g (x)) \cdot g' (x) d x = F (g (x)) + C

Das ist ja nur die Kettenregel des Differenzierens quasi in umgekehrter Richtung. Ich halte es aber für sinnvoll, sich diese Regel als solche zu merken und immer dann direkt anzuwenden, wo eine verkettete Funktion zu integrieren ist und die Ableitung der inneren Funktion als Faktor dabei steht und in solchen Fällen dann nicht explizit mühsam die Substitution

u = g (x) . .

. anzuschreiben.

Mit ein wenig Übung kann man dann zB

\int \frac{sin x}{cos x} d x = - ln (| cos x |) + C

sofort angeben, denn

\int \frac{sin x}{cos x} d x = - \int {(cos x)}^{- 1} \cdot (- sin x) d x

. Jetzt ist unser

f (. .) = {(. .)}^{- 1}

und

g (x) = cos x

und "zufälligerweise" steht daneben jetzt genau die Ableitung

g' (x) = - sin x

.
Also müssen wir nach obiger Regel nur die äußere Funktion

f

integrieren, was sofort auf den

ln

führt.
Man kann sich gerne auch den Spezialfall

\int \frac{N' (x)}{N (x)} d x = ln (| N (x) |) + C

merken.

NullChecker24 aktiv_icon

10:57 Uhr, 14.08.2019

Ja, ist auch einleuchtender als eine Substitution, da fehler bei mir schon vorprogrammiert sind dadurch...

Roman-22

12:31 Uhr, 14.08.2019

Naja, obs einleuchtender ist, weiß ich nicht.
Aber in aller Regel ist es gerade für Unerfahrene sicherer, sich die Substitution schön langsam und ausführlich aufzuschreiben. Das ist ein immer gleiches Kochrezept (so man einmal richtig "geraten" hat, was man substituiert), das man mechanisch runterarbeiten kann.
Bei den von mir zwecks Arbeits-, Schreib- und Zeitersparnis angegebenen Regeln muss man halt schon einen Blick dafür entwickeln, um die Regel in einer Angabe zu erkennen und um gegebenenfalls die nicht ganz passende Ableitung hinzubasteln. Hat man sich aber einmal diese Routine angeeignet, dann gehts deutlich schneller und kürzer.

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