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Lagebeziehung 3 Ebenen, Schnittpunkt?

Schüler Sonstige,

Tags: Ebenengleichung

IvaDenis aktiv_icon

23:54 Uhr, 01.04.2019

Hallo ihr Lieben,

ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe:

Ermittle die Lagebeziehungen der drei Ebenen

E 1, E 2, E 3

E 1 : - x + 2 y - 3 z = - 4

E 2 : 2 x + 3 y + z = 7

E 3 : 3 x - y - 2 z = - 11

Zuerst habe ich mit

E 1 | E 2

und

E 2 | E 3

das

x

eliminiert:

E 1 : - x + 2 y - 3 z = - 4 | \cdot 2

E 2 : 2 x + 3 y + z = 7

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

E 1 : - 2 x + 4 y - 6 z = - 4 |

E 2 : 2 x + 3 y + z = 7 | +

- - - - - - - - - - - - - - - - -

E 1,1 : + 8 y - 5 z = - 1

E 2 : 2 x + 3 y + z = 7 | \cdot 3

E 3 : 3 x - y - 2 z = - 11 | \cdot (- 2)

- - - - - - - - - - - - - - - - -

E 2 : 6 x + 9 y + 3 z = 21 |

E 3 : - 6 x + 2 y + 4 z = + 22 | +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

E 2,1 : 11 y + 7 z = 43

- - - - - - - - - - - - - - - - - -

E 1,1 : + 8 y - 5 z = - 1

E 2,1 : 11 y + 7 z = 43

- - - - - - - - - - - - - - - - -

Ab hier bekomme ich immer falsche Ergebnisse. Ist mein Rechenweg soweit korrekt?

Die Lösung sollte sein: schneidend im Punkt

S (- 1 | 2 | 3)

Ich bekomme aber nie diese Lösungen. Habe es schon acht mal komme aber nicht weiter.

Wie geht es denn ab hier weiter? dürcke ich

y

oder

Z

aus oder eliminiere ich eine der beiden variablen? Habe schon beides probiert. Ohne Erfolg. Wie komme ich denn zum Schnittpunkt?

Gibt es da eine spezielle Formel?

Leibe Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Ebenen in Normalenform
Ebenen in Parameterform

wuergi aktiv_icon

00:14 Uhr, 02.04.2019

Wenn du E1 mit 2 multiplizierst, musst du auch den inhomogenen Teil, d.h. auch die rechte Seite mit 2 multiplizieren
2*E1: -2x+4y-6z = -8

IvaDenis aktiv_icon

00:21 Uhr, 02.04.2019

Ups habe die falsche Taste erwischt.

In meinen Notizen habe ich es richtig.

Ich komme aber trotzdem nicht zum Ergebnis.

Lg

wuergi aktiv_icon

00:32 Uhr, 02.04.2019

Habe ich schon bemerkt, dass du eine -4 geschrieben, aber mit -8 gerechnet hast.
im nächsten Schritt sind 3y+4y=8y, ein echter Fehler.

In drei Schritten solltest du z=3, den ersten Beitrag zur Lösung, erhalten mit
5(2E1+E2) -7(3E1+E2)

Du bist richtig gestartet, aber du warst gleich leichtsinnig, konzentrier dich.

Respon

00:41 Uhr, 02.04.2019

Warum verwendest du nicht Gauss ?

(\begin{matrix} - 1 & 2 & - 3 & - 4 \\ 2 & 3 & 1 & 7 \\ 3 & - 1 & - 2 & - 11 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} - 1 & 2 & - 3 & - 4 \\ 0 & 7 & - 5 & - 1 \\ 0 & 5 & - 11 & - 23 \end{matrix}) ~ (\begin{matrix} - 1 & 2 & - 3 & - 4 \\ 0 & 7 & - 5 & - 1 \\ 0 & 0 & - \frac{52}{7} & - \frac{156}{7} \end{matrix})

Aus der letzten zeile ergibt sich sofort

z = 3,

und dann nach oben einsetzen.

wuergi aktiv_icon

00:41 Uhr, 02.04.2019

dein Fehler passiert in deiner 5.Zeile, dann gehts zwar richtig weiter, aber halt bergab. natürlich gibts auch einen ganz anderen Weg über Matrizen und Vektoren, ich denke ungeeignet für dich.
du musst ein simples inhomogenes Gleichungssystem mit 3 Gleichungen und 3 Unbekannten lösen, das kannst du schon prinzipiell seit der 8.Klasse. Probiers, es wird gelingen.

wuergi aktiv_icon

00:49 Uhr, 02.04.2019

Weil sie Gauss nicht kennt. Ich könnte auch fragen: Warum verwendest du nicht die inverse Koeffizientenmatrix mit anschließender Matrixmultiplikation? Hilft dem Fragenden nicht wirklich weiter.

Respon

00:51 Uhr, 02.04.2019

Eliminationsverfahren IST Gauss.

Joshua2 aktiv_icon

09:34 Uhr, 02.04.2019

Man könnte auch sagen, Additions bzw. Subtraktionsverfahren ist Gauss wobei beim Gaussverfahren einfach nur anders notiert wird und meist mehrere Schritte auf einmal gerechnet werden. Man kann natürlich auch das Gleichsetzungs- oder Einsetzungsverfahren nehmen.

I.

a 1 x + b 1 y + c 1 z = d 1

II.

a 2 x + b 2 y + c 2 z = d 2

III.

a 3 x + b 3 y + c 3 z = d 3

Mögliches Additionsverfahren

1. Gleichung I. mit –

a 2 : a 1

erweitern und Gleichung II. mit I. addieren damit

a 2 x

wegfällt
2. Gleichung I. mit –

a 3 : a 1

erweitern und Gleichung III. mit I. addieren damit

a 3 x

wegfällt
3. Gleichung II. mit –

b 3 : b 2

erweitern und Gleichung III. mit II. addieren ergibt

z

z

einsetzen in II. ergibt

y

y

und

z

einsetzen in I. ergibt

x

x; y

und

z

in II. und III. zur Probe einsetzen

Mögliches Gleichsetzungsverfahren

1. Alle Gleichungen nach

x

auflösen
2. I. und II. Gleichung gleichsetzen ergibt Gleichung

A;

Gleichung A nach

y

auflösen
3. I. und III. Gleichung gleichsetzen ergibt Gleichung

B;

Gleichung

B

nach

y

auflösen
4. Gleichungen A und

B

gleichsetzen ergibt

z

z

einsetzen in A oder

B

ergibt

y

y

und

z

einsetzen in I. ergibt

x

x; y

und

z

in Gleichung II. und III. zur Probe einsetzen

Mögliches Subtraktionsverfahren

1. Alle Gleichungen so teilen, dass

x

alleine steht
2. II. – I. und III. – I rechen
3. II. und III. so teilen, dass

y

alleine steht
4. III. – II. rechen und nach

z

auflösen, ergibt

z

z

einsetzen in II. und nach

y

auflösen ergibt

y

y

und

z

einsetzten in I. und nach

x

auflösen ergibt

x

x; y

und

z

in II. und III. zur Probe zur Probe einsetzen

Mögliches Einsetzverfahren

1. I. Gleichungen nach

x

auflösen
2. I. Gleichung in II. für

x

einsetzen und nach

y

auflösen
3. II. Gleichung in I. für

y

einsetzen
4. I und II. Gleichung in III. für

x

und

y

einsetzen ergibt

z

z

einsetzen in II. ergibt

y

z

einsetzen in I ergibt

x

x; y

und

z

in allen drei Ausgangsgleichungen zur Probe einsetzen

Diese 4 Wege führen garantiert ans Ziel, was nicht heißt, dass es je nach Werten in den Gleichungen einfachere Wege gibt. Am einfachsten gehts natürlich im GTR, was auch als "berechnen" zählt und da kommt für die Gleichungen oben als Schnittpunkt