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Lagebeziehung-Ebenen

Schüler

Tags: Lagebeziehung-Ebenen, parallel

GoldenSun aktiv_icon

22:33 Uhr, 04.10.2019

Hallo, ich bin gerade etwas am verzweifeln, weil ich eigentlich dachte, das Thema verstanden zu haben: Na ja, die Aufgabe lautet wie folgt:
Gegeben sind die Ebene

E 1 : 2 x - 3 y + 2 z = 6

und die Punkte

A (0 | 5 | 2), B (2 | 3 | - 3), C (- 4 | 1 | 0)

und

S (4 | - 3 | 3)

. Zeige, dass die Punkte

A, B

und

C

eine Ebene definieren die zu

E 1

parallel ist.

Ich habe die Ebenengleichung der von

E 2

aufgestellt und

E : x = (0 | 5 | 3) + r (2 | - 2 | - 5) + s (- 4 | - 4 | - 2)

rausbekommen. Beim einsetzen der Ebenen in einander habe ich

- 12 r - 16 s = 17

raus bekommen, aber das würde, doch heißen, dass sie sich schneiden, oder ? Entweder habe ich mich an irgendeiner Stelle verrechnet, oder ich habe den falschen Weg genommen. Wäre sehr lieb, wenn mir jemand weiterhelfen könnte :-), denn wenn ich schon bei so einer Aufgabe nicht weiterkomme, wirds für mich echt schwierig werden. Außerdem ist das nur eine Teilaufgabe von 6 weiteren...

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Normalenform)
Lagebeziehung Gerade - Ebene (in Parameterform)

Roman-22

23:58 Uhr, 04.10.2019

Ich weiß nicht, was du mit " einsetzen der Ebenen in einander " genau machst, aber du scheinst dich da kräftig verrechnet zu haben, denn ich komm damit auf

- 9 = 6

(bzw.

- 11 = 6,

wenn man die richtige z-Koordinate des AUfpunkts A verwendet), also zu einer falschen Aussage. Auch das ist durchaus ein Hinweis auf die Parallelität und auch darauf, dass die beiden Ebenen nicht identisch sind. Wären sie identisch ("parallel im Abstand 0"), so würde man auf etwas wie

6 = 6,

also die Identität, kommen. Im Fall schneidender Ebenen käme man auf eine Gleichung in

r

und

s

.

Um zu zeigen, dass die Ebene ABC parallel zu

E_{1}

ist, reicht es aber auch, zu zeigen, dass die Normalvektoren der beiden Ebenen linear abhängig sind.

Ein Normalvektor von

E_{1}

ist direkt ablesbar

\vec{n_{1}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})

und ein Normalvektor der Ebene ABC kann mit dem äußeren Produkt der beiden von dir ermittelten Ebenenvektoren leicht berechnet werden:

\vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix}) \times (\begin{matrix} - 4 \\ - 4 \\ - 2 \end{matrix}) = (\begin{matrix} - 16 \\ 24 \\ - 16 \end{matrix}) = - 8 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix}) = - 8 \cdot \vec{n_{1}}

rundblick aktiv_icon

00:21 Uhr, 05.10.2019

.
"Hallo, ich bin gerade etwas am verzweifeln, WEIL ich eigentlich dachte"

\to

toll

! -

na ja, denke trotzdem nochmal mit

: \to

"Ebene

E 1 : 2 x - 3 y + 2 z = 6

und die Punkte

A (0 | 5 | 2), B (2 | 3 | - 3), C (- 4 | 1 | 0)

E 2

aufgestellt

: x = (0 | 5 | 3) + r (2 | - 2 | - 5) + s (- 4 | - 4 | - 2)

rausbekommen."

⋆ ⋆ ⋆ ⋆ \cdot

richtig wäre

E 2 : x = (0 | 5 | 2) + r \cdot (2 | - 2 | - 5) + s \cdot (- 4 | - 4 | - 2)

"Beim einsetzen der Ebenen in einander "

< -

das ist keine gut formulierte Idee

nun, du sollst zeigen
"dass die Punkte

A, B

und

C

eine Ebene definieren die zu

E 1

parallel ist."

möglicher Weg:

1 .)

kannst du eine Koordinatengleichung für

E 2

notieren ?(also gleiche Form wie E1?)

2 .)

dann hast du die Komponenten der Normalenvektoren :
für

E 1

ist

n 1 = (2; - 3; 2)

einen Normalenvektor

n 2

für

E 2

könntest du zB aus deren Koordinatengleichung ablesen..oder
falls du das Kreuzprodukt kennst:

\to n 2 = (2 | - 2 | - 5) X (- 2 | - 2 | - 1)

3)

zeige nun (falls

E 1

und

E 2

nicht "zusammenfallen" :-) ..

\to

a)

dass zB A NICHT in

E 1

herumliegt (weisst du wie das geht?)

b)

dass

n 1

und

n 2

parallel zueinander sind (klar wie?)

\to

und schon bist du fertig ..
.. falls du dir überhaupt noch die Mühe machst, die Vorschläge hier zu lesen
.. und sogar darüber nachzudenken

. .

. :-)
.

Roman-22

11:33 Uhr, 05.10.2019

>

"Beim einsetzen der Ebenen in einander " <− das ist keine gute Idee
Doch, das ist durchaus eine gute Idee. Wenn man es richtig macht kann man damit sehr schnell und einfach die drei Lagefälle unterscheiden.

rundblick aktiv_icon

11:48 Uhr, 05.10.2019

.
"Beim einsetzen der Ebenen in einander "

>

Wenn man es richtig macht kann man

<

..Ebenen in einander einsetzen .. :-)

Mann, kannst du das erst mal richtig formulieren - eh du es richtig machst ..
.

GoldenSun aktiv_icon

11:58 Uhr, 05.10.2019

Vielen dank, dass hat mir sehr geholfen, aber wie würde denn die andere Rechnung aussehen. Ich habe die x-Werte der Parameterform für Ebene

2

in die Koordinatengleichung der 1. Ebene eingesetzt, ich weiß nicht wie ich es anders formulieren soll, jedenfalls kam das dann dabei raus:

2 (2 r - 4 s) - 3 (5 - 2 r - 4 s) + 2 (2 - 5 r + 2 s) = 6

durch zusammenfassen ergab das bei mir

- 12 r - 16 s = 17

aber das kann ja nicht stimmen...

GoldenSun aktiv_icon

12:22 Uhr, 05.10.2019

Ja, ich habe es nochmal nach dem 1. Vorschlag nachgerechnet, wie es auch in der ersten Antwort gezeigt wurde.

das Kreuzprodult von en Vektoren AB und AC ergibt (-16 24 -16).
Daraus ergibt sich dann E2=-16x1+24x2-16x3=d.
Einsetzten von Stützvektor A: -16*0+24*5-16*2=88
also lautet die
Koordniatengleichung E2=-16x1+24x2-16x3=88. Aus der Koordinatengleichung wird dann ersichtlich, dass die Gleichungen Vielfache voneinander sind. Damit sind auch die Normalenvektoren Vielfache voneinander, also sind die E1 und E2 parallel.

Ich habe aber leider nicht ganz verstanden, wie du beim Kreuzprodukt auf die beiden Vektoren gekommen bist.

GoldenSun aktiv_icon

12:22 Uhr, 05.10.2019

GoldenSun aktiv_icon

14:00 Uhr, 05.10.2019

So, ich habe die Aufgabe auf der anderen Variante auch nochmal nachgerechnet, bis ich dasselbe Ergebnis raushatte und jetzt hat sich alles geklärt. Ich muss mich wirklich an irgendeiner Stelle verrechnet haben, aber ansonsten bin ich erleichtert, es verstanden zu haben.

Und zu der Skalarproduktfrage: Ist ja klar, dass das der Richtungsvektor AB ist...sorry

Vielen Dank für die hilfreichen Antworten :-D)

rundblick aktiv_icon

17:34 Uhr, 05.10.2019

.
"Koordniatengleichung

E 2 = - 16 x 1 + 24 x 2 - 16 x 3 = 88

. "

\to

wenn du auf beiden Seiten durch

\to (- 8)

teilst, sieht es etwas einfacher aus :

E 2 :

2 x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = - 11

"Aus der Koordinatengleichung wird dann ersichtlich, dass die Gleichungen Vielfache voneinander sind."

\to

NEIN, SIND SIE NICHT

! .

. siehe:

E 1 \to 2 x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = 6

E 2 \to 2 x_{1} - 3 x_{2} + 2 x_{3} = - 11

.. also NUR die Normalenvektoren stimmen hier überein (also->

E 1 | | E 2)

.. die Zahlen auf der rechten Seite

(\to 6

bzw.

\to - 11)

sind verschieden

\Rightarrow

.. dh

\to E 1

und

E 2

haben verschiedenen Abstand vom Ursprung (sind also nicht identisch, nur parallel)

und dazu:
"Ich habe aber leider nicht ganz verstanden,
wie du beim Kreuzprodukt auf die beiden Vektoren gekommen bist. "

\to

um einen Normalenvektor der Ebene ABC zu bekommen, berechnest du einfach das Kreuzprodukt
.. zweier beliebiger, verschiedener (aber nicht paralleler) Richtungsvektoren der Ebene
.. in deinem Beispiel:
..

\vec{n} = (\vec{A B}) x (\frac{1}{2} \cdot \vec{A C}) = (\begin{matrix} 2 \\ - 2 \\ - 5 \end{matrix}) x (\begin{matrix} - 2 \\ - 2 \\ - 1 \end{matrix}) = - 4 \cdot (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})

also kannst du zB als Normalenvektor von

E 2

nehmen

\to \vec{n_{2}} = (\begin{matrix} 2 \\ - 3 \\ 2 \end{matrix})

alles klar ?
.

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