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Lagerung von Wein

Schüler

Tags: Temperatur

stinlein aktiv_icon

11:29 Uhr, 27.05.2019

Stehe bei folgender Aufgabe völlig an. Bitte euch mir wieder einmal aus der Patsche zu helfen und mir die Aufgabe zu erklären. DANKE im Voraus!
Die Aufgabe lautete:
Bei Lagerung in einem Keller hat eine bestimmter Wein eine Temperatur von

10

Grad C. Der Wein wird in einen Raum mit der Umgebungstemperatur

T_{u} = 20

Grad

C

gebracht. Nach

20 min

hat der Wein eine Temperatur von

12

Grad C.
Die momentane Änderung der Temperatur ist direkt proportional zur Differenz zwischen der Umgebungstemperatur

T_{U}

und der aktuellen Temperur des Weines.
1. Stellen Sie diejenige Differenzialgleichung auf, die die Temperatur

T

des Weines während des Erwärumgsprozesses beschreibt. Bezeichnen Sie dabei den Proportionalitätsfaktor mit

k

.
2. Berechnen Sie die Lösung der Differenzialgleichung für den gegebenen Erwärmungsprozess.
3. Berechnen Sie, wie lange es dauert, bis der Wein ausghend von

10

Grad

C

eine Temperatur von

15

Grad erreicht.
Die Lösungen hätte ich vorliegen, ich verstehe aber den Weg nicht dazu. Vielen lieben Dank für eure professionelle Hilfe.
stinlein

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Eva88 aktiv_icon

12:16 Uhr, 27.05.2019

T_{R}

=Raumtemperatur

20

Grad

T_{W}

=Weintemperatur

10

Grad

t

Zeit

20 min

y = T_{R} - (T_{R} - T_{W}) e^{k \cdot t}

12 = 20 - 10 \cdot e^{20 k}

umgestellt nach

k

k = - 0.011157

y = 20 - 10 \cdot e^{- 0,011157 t}

15 = 20 - 10 \cdot e^{- 0,011157 t}

- 5 = - 10 \cdot e^{- 0,011157 t}

0,5 = e^{- 0,011157 t}

e^{ln (0,5)} = e^{- 0,011157 t}

ln (0,5) = - 0,011157 t

t = \frac{ln (0,5)}{- 0,011157}

t = 62,126 min

Roman-22

12:23 Uhr, 27.05.2019

Du müsstest schon genauer sagen was dir an dieser Aufgabe bzw. der Musterlösung unklar ist.

Mich stört an der Lösung gewaltig, dass die Einheiten vollkommen ignoriert werden un dnur beim Antwortsatz zu 3 plötzlich wieder aus dem Hut gezaubert werden.
Außerdem irritiert die häufige Erwähnung von "Technologieeinsatz". Was soll das sein? "Knöpferldrück-Mathematik"? Die ganze Aufgabe ist doch sogar recht einfach ohne TR zu bewerkstelligen und schon gar nicht benötigt man irgendwelche "höheren" Rechenknechte.

1. Hier gehts ja nur um die Umsetzung des Angabesatzes (Erwärmung nach Newton) in mathematische "Sprache". Das sollte dir klar sein, oder? Ebenso dass der Proportionalitätsfaktor

(k)

steuert, wie rasch die Erwärmung abläuft. Das wird zB von der Form des Weingefäßes, von dessen mit der Umgebung in Kontakt stehender Oberfläche abhängig sein.

2. Die konkrete Lösung der DGL erfolgt mittels Trennen der Variablen und durch Einsetzen der Angabewerte erhält man sofort C=10°C und

k = \frac{1}{20} \cdot ln (\frac{5}{4}) \cdot \frac{1}{m i n}

3. Auch hier ist nur eine einfache Exponentialgleichung zu lösen

\to t = \frac{ln 2}{k} = \frac{20 \cdot ln 2}{ln (\frac{5}{4})} min

.
Den TR benötigt man nur um einen numerischen Näherungswert zu erhalten

(\approx 61,13 min)

.

Was genau verstehst du also hier nicht? Du hast doch schon weiß Gott deutlich schwierigere Differentialgleichungen zu lösen gehabt.
Und wenn du einen entsprechenden höherwertigen TR oder ein CAS verwenden darfst, beschränkt sich das Problem doch nur mehr auf die Kenntnis der Bedienung desselben.

stinlein aktiv_icon

12:53 Uhr, 27.05.2019

Liebe Eva

88!

Lieber Roman22!
Ich bedanke mich zuerst einmal ganz ganz lieb für eure Hilfestellung. DANKE!!! Ich habe mir einmal alles ausgedruckt und muss es jetzt in Ruhe ansehen.
Das war eine Maturaaufgabe, die ich nicht lösen konnte, leider.
Deshalb bat ich euch ja um Erklärung. Leider Roman22, wusste ich nicht Bescheid über den Angabesatz /Erwärmung nach Newton und das ist mir noch immer nicht bewusst.
Vielleicht könnt ihr mir da noch ein wenig Einsicht gewähren.
Freue mich riesig, wenn da noch etwas von euch auf mich an Erklärungen zukommt.
Ich glaube es scheitert bei mir daran, dass sich die Umsetzung des Angabesatzes in mathematische Sprache nicht verstehe bzw. noch nicht kapiert habe.
DANKE! DANKE!
stinlein

Roman-22

13:12 Uhr, 27.05.2019

>

Leider Roman22, wusste ich nicht Bescheid über den Angabesatz /Erwärmung nach Newton und das ist mir noch immer nicht bewusst.
Das heißt, dein Problem war der Teil 1 der Aufgabe?
Es geht einfach um den Satz im Angabetext, der die Erwärmung nach Newton beschreibt, nämlich: "Die momentane Änderung der Temperatur ist direkt proportional zur Differenz zwischen der Umgebungstemperatur $T_{U}$ und der aktuellen Temperatur des Weines."

.)

Die "momentane Änderung" einer Funktion wird durch die Ableitung dieser Funktion angegeben, ist also hier

\frac{d T (t)}{d t}

(oder schlampig

T')

.)

Die "Differenz zwischen der Umgebungstemperatur $T_{U}$ und der aktuellen Temperatur des Weines" ist natürlich als

(T_{U} - T (t))

anzuschreiben.

.)

Und die Formulierung "A ist direkt proportional zu B" bedeutet

A = k \cdot B

.

Wenn du den Satz aus der Angabe nun nochmals liest und das alles zusammen baust, erhältst du die DGL

\frac{d T (t)}{d t} = k \cdot (T_{U} - T (t)),

welche dann durch Trennen der Variablen direkt gelöst werden kann.

stinlein aktiv_icon

14:09 Uhr, 27.05.2019

Lieber Roman22!
Vielen lieben Dank für diese wunderbare, auch für mich hoffentlich verständliche Erklärung. Ich werde mich bemühen, das jetzt selber umzusetzen. DANKE vielmals für deine Mühe. Könnte sein, dass ich noch eine Rückfrage habe. Ich melde mich gerne wieder.
Lasse die Frage noch offen - schließ diese ab, sobald mir alles klar ist. DANKE!!!
Herzlichste Grüße
stinlein

stinlein aktiv_icon

14:30 Uhr, 27.05.2019

Ich möchte mich nochmals ganz lieb für diese Erklärungen bedanken. Endlich verstanden!

stinlein

Roman-22

15:01 Uhr, 27.05.2019

Fein! Dann war es diesmal mehr ein sprachliches, denn ein mathematisches Problem ;-)

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