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Lagrande-Restglied berrechnen

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Folgen und Reihen

Tags: Differentiation, Folgen und Reihen, Lagrange Verfahren, Taylorreihe

Anna-Maria99 aktiv_icon

13:42 Uhr, 30.07.2020

Hallo wunderbare Community,

Ich lerne gerade für eine Prüfung und habe eine kleine Frage dazu.

Ich soll ein das Taylor-Polynom berechnen mit

n = 5, f (x) = {cos}^{2} (x), x_{0} = 0

.

Das habe ich auch getan und habe geprüft.

Nun soll ich mit

{cos}^{2} (\frac{1}{10})

approximieren und zeigen dass der Fehler kleiner als

10^{- 6}

ist.

Diesen Punkt verstehe ich nicht ganz. Ich habe das Restglied mit der 6 Ableitung gebildet. Mein

x

ist

[0,1]

und die 6 Ableitung ist

: 32 ({sin}^{2} (x) - {cos}^{2} (x))

. Bei PI/2 sollte also der groß mögliche Wert(Fehler) entstehen.

Aber wie geht es nun weiter? Soll ich meine Taylor-Reihe nehmen

+

Die Restglied und dann statt

. .

. ja eig. bin ich ab diesen Punkt etwas verwirrt. könnte mir da jemand etwas behilflich sein.
Genauer würde ich gerne wissen wie ich nun mit dem Restglied arbeite. Ich Stelle es auf und oben in den Zähler setze ich statt

x

ein

c

ein. Das

c

wird dann zu der größtmöglichen Fehler gewählt. Was mache ich mit den Zahlen rechst, also

(X_{0} - X)

Die genauen Schritte wären hier hilfreich

MfG

Anna-Maria

Roman-22

15:57 Uhr, 30.07.2020

>

Mein

x

ist

[0,1]

Warum denn? Du willst doch den Fehler für

x = \frac{1}{10}

abschätzen

>

und die 6 Ableitung ist :32(sin2(x)−cos2(x)).
Wie bei einem früheren Thread von dir zur gleichen Aufgabe ist es geschickt, hier (ab der ersten Ableitung) die Doppelwinkelformeln zu benutzen.
Die sechste Ableitung kannst du auch als

- 32 \cdot cos (2 x)

schreiben

>

Bei PI/2 sollte also der groß mögliche Wert(Fehler) entstehen.
Ja, aber

\frac{π}{2}

liegt nicht im Intervall

[0; 0,1]

ist ist daher nicht relevant.

Beim Lagrange (nicht Lagrande) Restglied geht es darum, dass es irgend ein

ξ

im Intervall von der Entwicklungsstelle bis zur Stelle, an der ausgewertet wird, gibt, welches, eingesetzt in

f^{n + 1} (ξ) \cdot \frac{{(x - x_{0})}^{n + 1}}{(n + 1)!}

genau den Fehler angibt. Dabei ist

x_{0}

die Entwicklungsstelle und

x

die Stelle, an der näherungsweise ausgewertet wird.
Wir haben aber keine Möglichkeit, zu ermitteln, welches

ξ

das ist, weswegen wir den Fehler natürlich nicht genau angeben können.
Also suchen wir im Intervall jene Stelle, die den größten Wert liefert (betragsmäßig!) und können damit eine obere Grenze für den Fehler angeben.

Bei dir ist

n = 5, x_{0} = 0

und

x = \frac{1}{10} = 0,1

.

Der Ausdruck, dessen Betrag(!) für ein

ξ \in [0; 0,1]

maximiert werden soll, ist also

- 32 \cdot cos (2 x) \cdot \frac{{0,1}^{6}}{6!} = - \frac{2}{45} \cdot 10^{- 6} \cdot cos (2 ξ)

Es ist hoffentlich klar, dass für

ξ \in [0; 0,1]

der Betrag für

ξ = 0

am größten wird, nämlich

\frac{2}{45} \cdot 10^{- 6} \approx 4,44 \cdot 10^{- 8}

.
Daher ist der Betrag des wahren Fehlers kleiner oder höchstens gleich diesem Wert und damit auch sicher kleiner als

10^{- 6}

Anna-Maria99 aktiv_icon

14:29 Uhr, 01.08.2020

Danke

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