Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Lagrange-Funktion lösen

Lagrange-Funktion lösen

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Lagrange, LGS

Phlong aktiv_icon

15:52 Uhr, 26.02.2017

Hi,
Also ich habe folgende Aufgabe:

"Gegeben sei das folgende Optimierungsproblem:

min f (x, y) =

xy
Nebenbedingung:

g (x, y) = x^{2} + y^{2} = 4

"Stellen Sie die zu diesem Optimierungsproblem gehörende Lagrange-Funktion auf und bestimmen sie alle ihre stationären Punkte".

Ich gehe wie folgt vor:

1. Lagrange-Funktion aufstellen mit

L (x, y, λ) = f (x) + λ (g (x))

Also:

L (x, y, λ) =

+ λ (x^{2} + y^{2} + 4)

2. Den Gradienten von der Lagrange Funktion aufstellen. Also partiell nach allen Variablen ableiten und null setzen:

I

y + 2 λ x = 0

x + 2 λ y = 0

III

x^{2} + y^{2} - 4 = 0

So. Eigentlich sollte das ja klappen. Aber irgendwie bin ich gerade zu dumm, um das Gleichungssystem zu lösen. Letztes Semester konnte ich das noch wunderbar. Aber jetzt will es einfach nicht klappen!

Über Hilfe wäre ich sehr dankbar.

Update:
Ich habe es glaub geschafft, das LGS zu lösen:

Als erstes habe ich I nach

y

aufgelöst. Dann hat man
I

y = - 2 λ x

Das

y

habe ich dann II eingesetzt, sodass man folgendes hat:

II

x + 2 λ (- 2 λ x) = 0

\Leftrightarrow x - 4 λ^{2} x = 0

Dann

x

ausgeklammert:

x (1 - 4 λ^{2}) = 0

x

kann also 0 sein, oder eben aus der Klammer

(1 - 4 λ^{2}) = 0,

kriegt man

λ = \frac{1}{2}

und

λ = - \frac{1}{2}

λ = \frac{1}{2}

habe ich dann in I und II eingesetzt, sodass man nun folgendes Gleichungssystem hat:

I

y - x = 0

x - y = 0

III

x^{2} + y^{2} - 4 = 0

Daraus ergibt sich, dass

y = x

und

x = y

ist.
Ich habe

x = y

in die III Gleichung eingesetzt. Dann hat man:

III

y^{2} + y^{2} - 4 = 0

\Leftrightarrow 2 y^{2} - 4 = 0

Nach

y

aufgelöst erhält man

y = \sqrt{2}

und

y = - \sqrt{2}

x = y

ist, haben wir auch

x = \sqrt{2}

und

x = - \sqrt{2}

Wir haben als Endlösung also:

x 1 = \sqrt{2} x 2 = - \sqrt{2}

y 1 = \sqrt{2} y 2 = - \sqrt{2}

λ 1 = \frac{1}{2} λ 2 = - \frac{1}{2}

Stimmt das so? In der Lösung haben sie 4 stationäre Punkte. Die Zahlen, die ich als Lösung habe, tauchen zwar auf, aber wie bekomme ich die genauen Punkte raus? In der Lösung schaut es so aus, als hätten sie einfach alles kombiniert.

Aber was ist nun mit dem

x = 0,

was ich vorhin am Anfang raushatte?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

anonymous

17:29 Uhr, 26.02.2017

Jo stimmt so.

Beachte:

Die Lösungen für das MAXIMUM sind:

(\sqrt{2}, \sqrt{2})

und

(- \sqrt{2}, - \sqrt{2})

Die Lösungen für das MINIMUM sind:

(- \sqrt{2}, \sqrt{2})

und

(\sqrt{2}, - \sqrt{2})

Tipp für LaGrange:

Stelle in I und II den Part mit

λ

jeweils auf die rechte Seite und teile dann I durch II.

I:

y = - 2 λ x

II:

x = - 2 λ y

(I/II) liefert:

\frac{y}{x} = \frac{x}{y}

\Leftrightarrow x = y

ermanus aktiv_icon

19:55 Uhr, 26.02.2017

Hallo,
ein paar Bemerkungen bzgl. einer vollständigen Fallerörterung:

x = 0

liefert wegen

I : y = 0

, entsprechend liefert

y = 0

wegen

I I : x = 0

,
ebenso liefert

λ = 0

mit

I

und

I I

x = y = 0

x = y = 0

widerspricht aber Gleichung

I I I

, d.h. es bleibt

x \neq 0, y \neq 0, λ \neq 0

. Nun darf man ohne
Sorge HarterBoYY's Divisionstrick benutzen und erhält

x = \pm y

.
Gruß ermanus

Phlong aktiv_icon

09:44 Uhr, 27.02.2017

Alles klar. Vielen Dank!

1357946

1357899

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?