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Lagrange Funktion mit Nebenbedingung

Universität / Fachhochschule

Funktionalanalysis

Kombinatorische Optimierung

Tags: Funktionalanalysis, Kombinatorische Optimierung, Lagrange-Funktion

Maschmidt90 aktiv_icon

17:23 Uhr, 23.01.2016

Hallo zusammen,

habe eine Allgemeine Frage zur Lagrange Funktion mit Nebenbedingung.

Und zwar stelle ich meine Lagrange Funktion wie folgt auf:

Standardfunktion

f (x, y) + Λ \cdot

Nebenbedingung.

Nun habe ich aber auch Lösungen gesehen bei denen statt

(+ Λ \cdot

Nebenbedingung) auch mal

(- Λ \cdot

Nebenbedingung steht)

Muss ich da auf was achten? Oder kann man dies machen wie man will?

Vielen Dank schonmal

Grüße

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Yokozuna aktiv_icon

17:51 Uhr, 23.01.2016

Hallo,

das ist völlig egal, ob man

L (x, y, Λ) = f (x, y) + Λ \cdot

NB oder

L (x, y, Λ) = f (x, y) - Λ \cdot

NB schreibt.

Angenommen, ich arbeite mit

L (x, y, Λ) = f (x, y) + Λ \cdot

NB, berechne die partiellen Ableitungen von

L,

setze diese gleich Null und löse das Gleichungssystem, dann bekomme ich

z . B

. eine Lösung

x_{0}, y_{0}

und

Λ_{0}

heraus. Nehmen wir an,

Λ_{0} = 4711

.

Nun mache ich das nochmal mit

L (x, y, Λ) = f (x, y) - Λ \cdot

NB. Nun bekomme ich wieder eine Lösung

x_{0}, y_{0}

und

Λ_{0}

heraus, aber diesmal ist

Λ_{0} = - 4711

.

Da man eigentlich nur an

x_{0}

und

y_{0}

interessiert ist, ist es somit völlig egal, mit welcher Version der Lagrange-Funktion man arbeitet.

Viele Grüße
Yokozuna

Maschmidt90 aktiv_icon

18:01 Uhr, 23.01.2016

Hallo,

vielen Dank für die schnelle Antwort.

Villeicht kann mir jemand noch bei dieser Aufgabe weiterhelfen?

Ich komme nicht weiter habe schon hin und her umgestellt aber komme nie weiter.

Habe ein Foto angehängt.

Vielen Dank

Yokozuna aktiv_icon

18:45 Uhr, 23.01.2016

Deine Ableitungen sind schon mal richtig.

Was hast Du denn schon probiert, um dieses Gleichungssystem zu lösen?

Ich würde zuerst

λ

eliminieren. Dazu bietet sich an, die Gleichung

50 \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} + 50 \cdot λ = 0

nach

λ

aufzulösen. Zuerst durch

50

dividieren liefert

x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} + λ = 0 \Rightarrow λ = - x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}}

Dies kann man nun in die Gleichung

10 \cdot x^{\frac{5}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} + 7 \cdot λ = 0

einsetzen. Nun hat man zusammen mit der Nebenbedingung noch zwei Gleichungen mit den Variablen

x

und

y

. Mit etwas Geschick lassen sich diese beiden Gleichungen dann nach

x

und

y

auflösen. Willst Du mal versuchen?

Viele Grüße
Yokozuna

Maschmidt90 aktiv_icon

18:47 Uhr, 23.01.2016

Hey super ja damit müsste ich weiterkommen :-)

Werde mich gleich mal dran machen.

Vielen Dank

Yokozuna aktiv_icon

18:52 Uhr, 23.01.2016

Falls Du doch noch wo hängenbleibst, dann meldest Du Dich einfach nochmal.

Ansonsten viel Erfolg.

Yokozuna

Maschmidt90 aktiv_icon

19:20 Uhr, 23.01.2016

Ich komme doch nicht weiter

: - (

villeicht kannst du mir nochmal auf die Sprünge helfen.

Yokozuna aktiv_icon

20:06 Uhr, 23.01.2016

Beim Einsetzen von

λ

ist Dir ein Fehler unterlaufen (da taucht plötzlich ein Plus-Zeichen auf, das da nichts zu suchen hat). Richtig müsste es lauten:

10 \cdot x^{\frac{5}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} - 7 \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 0

Nun besteht die Möglichkeit, etwas auszuklammern und ich klammere so aus, dass in der Klammer nur noch lineare Terme in

x

und

y

stehenbleiben. Dazu forme ich etwas um:

10 \cdot x^{\frac{5}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} - 7 \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{\frac{1}{2}} = 10 \cdot x \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} - 7 \cdot x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} \cdot y =

x^{\frac{3}{2}} \cdot y^{- \frac{1}{2}} \cdot (10 \cdot x - 7 \cdot y) = 0

Nun ist ein Produkt genau dann Null, wenn mindestens ein Faktor des Produkts gleich Null ist.
Der Faktor

y^{- \frac{1}{2}} = \frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}

kann nicht Null werden. Den Wert

y = 0

muss man ausschließen, da sonst

\frac{1}{y^{\frac{1}{2}}}

undefiniert ist.

Es bleiben also noch zwei Möglichkeiten übrig:

1) x^{\frac{3}{2}} = 0

und damit

x = 0

oder

2) 10 \cdot x - 7 \cdot y = 0

1) : x = 0

in die Nebenbedingung eingesetzt ergibt

y = 5,

also erster Lösungspunkt

(0 | 5)

.

Zu

2) :

Addiert man

10 \cdot x - 7 \cdot y = 0

zur Nebenbedingung, fallen die Terme mit

y

heraus und man erhält

60 \cdot x = 35

oder

x = \frac{35}{60} = \frac{7}{12}

und das eingesetzt in

10 \cdot x - 7 \cdot y = 0

ergibt

y = \frac{5}{6},

also zweiter Lösungspunkt

(\frac{7}{12} | \frac{5}{6})

.

Für die Lösung nichtlinearer Gleichungssysteme gibt es leider keine Patentrezepte. Normalerweise würde man versuchen, Variablen zu eliminieren, so dass am Schluss nur noch eine Gleichung mit einer Variablen übrig bleibt. Bei dieser Aufgabe haben wir zuerst

λ

eliminiert. Aber wenn man dann

z . B

. die Nebenbedingung nach

y

auflöst und in die andere Gleichung einsetzt, ergibt das eine recht unhandliche Gleichung in

x

. Deshalb habe ich den Weg mit dem Ausklammern gewählt. Dafür benötigt man Erfahrung die man wiederum nur durch viel Übung erlangt. In der Praxis sind nichtlineare Gleichungssysteme oft gar nicht explizit lösbar (oder sie haben möglicherweise gar keine Lösung), dann bleibt nur der Weg über numerische Verfahren.

Viele Grüße
Yokozuna

Viele Grüße
Yokozuna

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