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Lagrange-Multiplikator

Universität / Fachhochschule

Tags: Funktion, Lagrange-Multiplikator, Tangent

Florentine1996 aktiv_icon

12:13 Uhr, 26.08.2018

Hallo,
ich habe eine Frage zu folgender geometrischer Beschreibung der Langrange-Methode.
Auf der Wiki Seite: de.wikipedia.org/wiki/Lagrange-Multiplikator haben wir ein Bild, in dem die Nebenbedingung rot und die Funktion

f (x, y)

gestrichelt mit ihren Höhenlinien darsgestellt wird.

Die Aussage ist:
Wir sehen nun, dass wir immer nur dann ein Maximum

d

der Funktion

f (x, y)

erreichen, wenn unsere Bewegung auf der Kurve

g (x, y) = c

tangential zur Höhenlinie

f (x, y) = d

verläuft:
Andernfalls können wir durch Vorwärts- oder Rückwärtsbewegung auf der Kurve

g (x, y) = c

den Funktionswert von

f (x, y)

noch weiter vergrößern, ohne die Nebenbedingung zu verletzen.
Wie ist das zu verstehen. Warum kann man in der Skizze durch Vorwärts und Rückwärtsbewegung den Funktionswert vergrößern?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

anonymous

17:38 Uhr, 26.08.2018

Liebe Florentine; es ist dies der Ansatz, den ich seit meiner Assistentenzeit verfolge ( Das Gute setzt sich eben doch durch . ) In meinem Kopf stellt sich die Sache folgender Maßen dar:
Die Hauptbedingung

F (x; y)

betrachtest du als Höhenlinienprofil auf einer Landkarte. Und im Zeitalter von Powerpoint sollte es möglich sein, eine ( Klarsicht)folie mit dem Profil von

G (x; y) =

const darüber zu legen / blenden .
Bewegen darfst du dich nur längs den " Wanderpfaden "

G =

const . Jetzt schau dir mal die Höhenlinien von

F

an; so lange zwischen

F

und

G

noch ein Winkel besteht, klettert doch dein Weg entweder höher, oder du läufst Berg ab . Notwendige Bedingung für ( lokales ) Extremum von

F

unter der Nebenbedingung

G :

Die Höhenlinien von

F

und

G

laufen parallel; haben die selbe Steigung . Schreiben wir das mal auf

F_{x} (x; y) + y' F_{y} (x; y) = 0 (1 a) (

wegen Extremum )

G_{x} (x; y) + y' G_{y} (x; y) = 0 (1 b) (

wegen const )

Angewandt wurde hier nichts weiter als implizites Differenzieren ( ID

),

ein Verfahren, das nichts außer der Kettenregel voraus setzt ( und in der Praxis für Schüler selbst erklärend ist - auch ohne Grafik )

Das Besondere an der Extremalbedingung ist eben, dass das

y' \in (1 a)

das selbe sein muss wie in

(1 b);

im Allgemeinen unterscheidet sich ja die Steigung der beiden Höhenlinien .
an sich hat ID gegenüber Lagrange den kleinen Schönheitsfehler, dass wir eben doch die Verändrliche

x

bevorzugt haben . Nach

y'

umstellen können wir ( 1ab ) nur, wenn die beiden Teilableitungen nach

y

nicht verschwinden, wenn also insbesondere weder

F

noch

G

ein extremum ohne NB annehmen. Aber wir wollen mal nicht so sein.

y' = - \frac{F_{x}}{F_{y}} = - \frac{G_{x}}{G_{y}} | \cdot F_{y} : G_{x} (2 a)

\frac{F_{x}}{G_{x}} = \frac{F_{y}}{G_{y}} = : - k (2 b)

(

max

Zeichen ; fortsetzung folgt)

anonymous

19:35 Uhr, 26.08.2018

Was ist der anschauliche Sinn hinter

(1.2 b)

? Der Gradient steht immer senkrecht auf dem Höhenlinlinienprofil;

; (1.2 b)

besagt doch, dass beide Gradientenvektoren den selben Tangens, die selbe Richtung haben . Claro; zwei Kurven, die in der Tangente überein stimmen, haben auch die selbe Normale - und das ist das ganze Geheimnis hinter Lagrange.
Bei meinem ( späteren ) Doktorvater war ich Hiwi für Anfängervorlesung Mechanik 2 . Und da kommen dann diese Zwangskräfte vor;

z . B

. die Kraft, die auf einen Wagen der Looping Achterbahn wirkt, ist so eine Zwangskraft. Die Zwangskraft wird immer hervor gerufen durch die NB und zeigt in Richtung der Flächen Normalen; darum verrichtet sie keine Arbeit .
Ich hatte nun einen Plan. Das Ganze sieht doch verdächtig aus nach Lagrange ( der in den Büchern immer so umständlich erklärt ist. ) Wenn

s

mir gelang, meinen Studenten einen echt durchsichtigen Beweis von Lagrange hinzulegen, konnten wir Minimaxaufgaben aus der Schule rechnen, statt den Vorlesungskram durchzunehmen.
Ich hatte noch

23 h

Zeit - und beim Einschlafen kommen mir traditionell die besten Ideen

. .

.

Den Vektor

(x_{1}, . .

, x_{n})

will ich mal abkürzen mit

x

. Dann hast du

m

G_{1} (x) = c_{1} (2.1 a)

G_{2} (x) = c_{2} (2.1 b)

G_{m} (x) = c_{m} (2.1 c)

Das, was ich meine, bezeichnet man in der Mechanik als " virtuelle " Verrückungen ds . Du könntest besser sagen infinitesimale oder zulässige Verrückungen. Welche Vektoren ds sind vertgräglich mit NB

(2.1 a - c)

? Doch offenbar die Skalarprodukte

< \nabla (G_{k}) |

> = 0; k = 1, . .

, m (2.2)

Den von den

\nabla (G)

aufgespannten Unterraum nenne ich

U

. Dann müssen aber die zulässigen ds liegen in

U ⊤,

dem zu

U

total senkrechten oder transversalen Raum .

Unsere Extremalbedingung lautet dann

< \nabla (F) |

> = 0 (2.3)

womit offenbar

\nabla (F) \in (U ⊤) ⊤ = U

. Dann hat aber

\nabla (F)

die Darstellunk als Linearkombination

\nabla (F) = - λ_{k} \nabla (G_{k}) (2.4)

( In

(2.4)

wurde die

\to

Einsteinsche Indexkonvention voraus gesetzt. )

Die Gruppe hatte sich schon verlaufen; da steht auf einmal unser Mädchen " Gaby " neben mir.

" Was willst denn du noch? "
" Ich habe dein Referat mitgeschrieben. Darf ich es nächste Woche nochmal halten? "

Florentine1996 aktiv_icon

21:47 Uhr, 26.08.2018

Danke für deine ausführliche Erklärung:-)

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