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Lagrange - Nebenbedingungen, kritische Punkte

Universität / Fachhochschule

Determinanten

Eigenwerte

Matrizenrechnung

Tags: Determinant, Eigenwert, Lagrange-Funktion, Matrizenrechnung, Nebenbedingung

 
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Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

20:59 Uhr, 13.01.2020

Antworten
Hallo zusammen!

Ich soll von folgender Funktion (unter Anwendung der Kuhn-Tucker Theorie) die Kandidaten für Minima, Maxima ausrechnen:

f(x1,x2)=(32)(5-x1)(10-x1)(5-x2)-(5-x2)3

Die Nebenbedingungen lauten:

x10,
x115
x20
x212

Die Funktion inkl. Nebenbedingungen (habe ich diese richtig aufgestellt?) sieht bei mir dann folgendermaßen aus:

L(x1,x2,λ1,λ2)=(32)(5-x1)(10-x1)(5-x2)-(5-x2)3+λ1(15-x1)+λ2(12-x2)

und ausmultipliziert:

L(x1,x2,λ1,λ2)=250-112.5x1+22.5x1x2+7.5x12-1.5x12x2+15x22-x23+15λ1-x1λ1+12λ2-x2λ2

Nachdem ich alles partiell abgeleitet habe, habe ich mir mittels der Kuhn-Tucker Bedingungen folgende drei Kandidaten für kritische Stellen ermittelt:

P1=(x1=15,x2=0) mit λ1=112,5 und λ2=0
P2=(x1=0,x2=0) mit λ1=0 und λ2=0 und
P3=(x1=7.5,x2=12) mit λ1=0 und λ2=12.375

Zuguterletzt habe ich mittels Hesse-Matrix und Hauptminoren versucht, die Definitheit und somit die Art der Extremstellen zu ermitteln:

Die Minoren für P1 und P2 sind:

H1=15
H2=-56,25
H3=-30
H4=1

für P3:

H1=-21
H2=882
H3=42
H4=1

Somit bekomme ich allerdings dreimal heraus, dass die Hesse-Matrix indefinit ist und ich damit drei Sattelpunkte habe. Kann natürlich sein, allerdings befürchte ich, dass ich irgendwo einen Fehler gemacht habe. Kann sich das jemand mal bitte ansehen, wenn er die Zeit hat? Sorry für den langen Text und LG Manuel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

21:44 Uhr, 13.01.2020

Antworten
Hallo,

die KKT-Bedingungen sind Ungleichungen. Hast du diese denn aufgestellt?

Auf der nachfolgenden Seite ist das Verfahren ganz gut erklärt. Die KKT-Bedingung sind in dem abgerundeten Kasten auf der zweiten Hälfte der Seite.

statistik.wu-wien.ac.at/~leydold/MOK/HTML/node172.html

Gruß

pivot


Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

22:17 Uhr, 13.01.2020

Antworten
Also über die Vorgangsweise bei Kuhn-Tucker weiß ich Bescheid. Sofern ich meine Nebenbedingungen richtig aufgestellt habe und mich nicht verrechnet habe, erfüllen diese drei Punkte jeweils alle Kuhn-Tucker Bedingungen. Mich wundert nur dass angeblich die Hesse-Matrix jedes Punktes indefinit sein soll und ich somit drei Sattelpunkte ohne genauere Aussage habe.
Deswegen war meine Frage, habe ich die Nebenbedingungen richtig aufgestellt? Hab ich mich vielleicht bei der Lagrange-Funktion oder den Hesse-Matrizen/Minoren verrechnet? Danke jedenfalls für den Tipp :-)
Antwort
pivot

pivot aktiv_icon

16:40 Uhr, 14.01.2020

Antworten
>>Deswegen war meine Frage, habe ich die Nebenbedingungen richtig aufgestellt?<<

Ja.

>> Hab ich mich vielleicht bei der Lagrange-Funktion oder den Hesse-Matrizen/Minoren verrechnet?<<

Ein paar Zwischenschritte wären ganz gut. Du kannst auch eine jpg-Datei hochladen.
Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

16:28 Uhr, 19.01.2020

Antworten
Sorry für meine späte Antwort.

Anbei sind zwei Bilder von allen 3 verschiedenen kritischen Punkten die ich ermitteln konnte. Demnach sind alle 3 Hesse-Matrizen indefinit und ich habe 3 Sattelpunkte (hoffe du kannst mein Geschmiere lesen).

Habe außerdem das hier gefunden (Unterlagen meines Professors, 3. Bild).
Da ich 2 Variablen und 2 Nebenbedingungen habe, sind ja die letzten Null (also gar keine) Minoren für mich ausschlaggebend zur Bestimmung eines Maximums oder Minimums, was auch bedeuten würde, das meine drei Lösungen mit Sattelpunkt richtig sind?

Lg und danke für deine Zeit :-)

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Manuel91

Manuel91 aktiv_icon

16:28 Uhr, 19.01.2020

Antworten
Sorry für meine späte Antwort.

Anbei sind zwei Bilder von allen 3 verschiedenen kritischen Punkten die ich ermitteln konnte. Demnach sind alle 3 Hesse-Matrizen indefinit und ich habe 3 Sattelpunkte (hoffe du kannst mein Geschmiere lesen).

Habe außerdem das hier gefunden (Unterlagen meines Professors, 3. Bild).
Da ich 2 Variablen und 2 Nebenbedingungen habe, sind ja die letzten Null (also gar keine) Minoren für mich ausschlaggebend zur Bestimmung eines Maximums oder Minimums, was auch bedeuten würde, das meine drei Lösungen mit Sattelpunkt richtig sind?

Lg und danke für deine Zeit :-)

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