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Lagrange - Optimierung Pyramide/Kegel

Schüler Allgemeinbildende höhere Schulen, 12. Klassenstufe

Tags: Kegel, Lagrange, Nebenbedingung, nichtlinear, Optimierung, Pyramide

brand aktiv_icon

15:36 Uhr, 06.01.2014

Hallo allerseits,

Ich sitz gerade an einer Optimierungsaufgabe und soll noch zwei Aufgaben mit Lagrange berechnen. Ich weiß wie die Berechnung funktioniert und so, ich bin mir nur mit den Nebenbedingungen nicht sicher.

1.:
Aus acht gleich langen Stangen der Länge s soll eine Zeltpyramide mit regelmäßiger achteckiger Grundfläche und möglichst großem Volumen errichtet werden. Bestimmen Sie das maximale Volumen mithilfe des Verfahrens der Lagrange‘schen Multiplikatoren.

Also die Zielfunktion wird die Volumensformel für Pyramiden sein:

\frac{1}{3} * G * h

Oder auch

\frac{1}{3} * a^{2} * 2 * (1 + \sqrt{2}) * h

Jetzt könnte man doch das als Zielfunktion f(a,h) nehmen.
Und weil ja eine Stange die Länge

\sqrt{(} h^{2} + a^{2} / 2)

hat könnte man dann doch die berechneten maximalen Werte in diese Formel einsetzen und würd die optimale Stangenlänge erhalten oder?

Falls das so weit stimmt hab ich jetzt noch ein Problem, nämlich die Nebenbedingung finden.
Es sollen ja alle Stangen gleich lang sein, das ist irgendwie die einzige Bedingung die ich finden kann, aber wenn ich davon ausgehe, dass es regelmäßig ist sind die Längen ja sowieso gleich oder?

2.: Bestimme unter allen Kegeln mit Höhe h und Radius r mit gleicher Oberfläche jenen
mit grösstem Volumen mithilfe des Verfahrens der Lagrange‘schen Multiplikatoren.

Hier hab ich eigentlich die selbe Idee wie beim ersten Beispiel, als Zielfunktion wieder die Volumensformel, dieses mal halt:
f(r,h)=

\frac{1}{3} * π * r^{2} * h

Als Nebenbedingung fällt mir hier nur "mit gleicher Oberfläche" auf.
Aber wie schreib ich das jetzt als Nebenbedingung?
Ich kann doch schlecht einfach die Formel für die Gesamtoberfläche nehmen weil ich ja nicht weiß wie groß "gleich" ist, also ich nicht sagen kann
Formel = ???

Hoffe mal ihr könnt mir hier ein bisschen helfen.

lg brand.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Pyramide (Mathematischer Grundbegriff)
Kegel (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Oberfläche und Volumen von Kugel, Kegel und Zylinder
Volumen einer Pyramide
Volumen und Oberfläche einer Pyramide
Volumen und Oberfläche eines Kegels

prodomo aktiv_icon

15:44 Uhr, 06.01.2014

Wenn dort wirklich "mit achteckiger Grundfläche" steht, sind deine 8 Stangen verbraucht, bevor die erste Seitenkante steht !

brand aktiv_icon

15:46 Uhr, 06.01.2014

Naja ich denk das ist so gemeint, dass mit den Stangen nur die Steilkanten gemeint sind, die Grundfläche hat glaub ich keine Stangen als Seiten sondern würd ja dann durch die aufgespannte Zeltfläche begrenzt werden die man auf die Steilkanten legt.

Werner-Salomon aktiv_icon

16:29 Uhr, 06.01.2014

zu 1.)
ich unterstelle dass

a

die Seitenlänge des Achtecks sein soll. Dann ist die Gleichung mit dem Zusammenhang von Länge der Stange und

a

und

h

falsch - dieses

h

würde die Höhe eine (gleichschenkligen) Dreiecks einer Außenfläche beschreiben, nicht die Höhe der Pyramide.

Grundsätzlich hast Du Recht, wenn Du das Einsetzen willst. Dann entsteht aber eine recht komplexe Gleichung. Einfacher ist es diese Gleichung (die richtige) selbst als Nebenbedingung zu benutzen.

zu 2.)
genauso - die Nebenbedingung ist die Gleichung für die Oberfläche

O = r^{2} π + π r \sqrt{h^{2} + r^{2}}

bzw.:

r^{2} π + π r \sqrt{h^{2} + r^{2}} - O = 0

alles zusammen:

V (r, h, λ) = \frac{1}{3} π r^{2} h + λ (r^{2} π + π r \sqrt{h^{2} + r^{2}} - O)

Die Oberfläche

O

ist konstant. Ansonsten die Gleichung nach

r

h

und

λ

ableiten und zu 0 setzen.

Gruß
Werner

brand aktiv_icon

19:06 Uhr, 06.01.2014

Erstmal vielen Dank, das hat schon sehr weitergeholfen, ich hab aber noch zwei Fragen.

Zum ersten Beispiel:

Also meinst du, dass es besser so sein sollte:
Zielfunktion:

f (a, h) = \frac{1}{3} * a^{2} * 2 * (1 + \sqrt{(} 2)) * h

Nebenbedingung:

\sqrt{(} h^{2} + \frac{a^{2}}{2}) - s = 0

Lagrangefunktion:

f (a, h, λ) = \frac{1}{3} * a^{2} * 2 * (1 + \sqrt{(} 2)) * h + λ * (\sqrt{(} h^{2} + \frac{a^{2}}{2}) - s)

Zum zweiten Beispiel:
Ich finde es fehlt in der Klammer ein r, du schreibst

π \sqrt{(} h^{2} + r^{2})

aber ich finde es sollte

π r \sqrt{(} h^{2} + r^{2})

sein, oder irre ich mich da?
Sollte die Lagrangefunktion nicht so aussehen:

f (r, h, λ) = \frac{1}{3} π r^{2} h + λ * (r^{2} π + π r * \sqrt{(} h^{2} + r^{2}) - O)

Werner-Salomon aktiv_icon

21:55 Uhr, 06.01.2014

Bitte schreibe doch, was Du unter

a

verstehst. Es ist schwierig das aus einer - eventuell sogar falschen Formel - zu schließen.
Wenn überhaupt muss es

\frac{a^{2}}{4}

heißen ...

zu 2.)
ja - das

r

fehlt. Ich habe es korrigiert.

Gruß
Werner

brand aktiv_icon

22:03 Uhr, 06.01.2014

Ja das mit a hab ich ein bisschen übersehen, gemeint ist mit a eine der Seiten der Grundfläche, jetzt weiß ich auch was du mit der Formel meinst.

Ich hab gedacht mit

s = \sqrt{(} h^{2} + \frac{a^{2}}{2}

kann man eine der Steilkanten berechnen, und weil die ja alle gleich sein sollten die Idee, dass die Nebenbedingung so aussieht.

Weil die Formel

\sqrt{(} h^{2} + \frac{a^{2}}{4}

find ich auf Wikipedia nur als die für die Höhe der Seitendreiecke, was mich ein bisschen verwirrt, weil die braucht man doch für diese Aufgabe nicht oder?

Werner-Salomon aktiv_icon

22:16 Uhr, 06.01.2014

Ja genau, die Höhe eines Seitendreiecks braucht man hier nicht.

Du benötigst einen Zusammenhang zwischen der Grundfläche und der Höhe der Pyramide. Dieser Zusammenhang ist mit der Kantenlänge

s

(Zeltstange) fest gelegt.

Der Radius des Umkreises des Achtecks

r_{u}

, die Höhe

h

und die Stange

s

bilden ein rechtwinkliges Dreieck. Unter dem Link de.wikipedia.org/wiki/Achteck ist auch eine Flächenformel in Abhängigkeit von

r_{u}

gegeben:

G = A = {r_{u}}^{2} * 2 \sqrt{2}

und nach Phytagoras ist

{r_{u}}^{2} = s^{2} - h^{2}

.. klar, wie es weiter geht?

Gruß
Werner

brand aktiv_icon

23:16 Uhr, 06.01.2014

Hm okay, das macht Sinn, dass die Grundflächenseitenlänge da nicht viel bringt (also das a).

Also wie ich mir das jetzt gedacht hab sieht das ganze jetzt folgendermaßen aus:

Zielfunktion:

V (r_{u}, h) = \frac{1}{3} r_{u}^{2} * 2 \sqrt{2} * h

Nebenbedingung:

s = \sqrt{(} r_{u}^{2} + h^{2})

Lagrange-Funktion:

V (r_{u}, h, λ) = \frac{1}{3} r_{u}^{2} * 2 \sqrt{2} * h + λ (\sqrt{(} r_{u}^{2} + h^{2}) - s)

Ich denk mir das jetzt nur weil du ja sagst man brauch den Zusammenhang zwischen Grundfläche und Höhe für das Volumen, und wenn man dann festsetzt, dass die Seitenkante so lang sein muss wie in der Nebenbedingung festgelegt garantiert man damit, dass alle Zeltstangen gleich lang sind.

Wenn das so stimmt dann hab ichs jetzt verstanden.

Werner-Salomon aktiv_icon

08:49 Uhr, 07.01.2014

Ja - so ist es richtig.

Noch ein Tipp: benutze als Nebenbedingung ruhig die Form ohne die Wurzel; also:

{r_{u}}^{2} + h^{2} - s^{2} = 0

dann tust Du Dich beim Ableiten leichter.

Gruß
Werner

brand aktiv_icon

11:05 Uhr, 07.01.2014

Perfekt, dann weiß ich jetzt wie es geht, vielen Dank für die Hilfe und Geduld.

lg, brand.

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