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Lagrange Optimierungsproblem

Universität / Fachhochschule

Finanzmathematik

Tags: Lagrange, optimierungsproblem

icehawk aktiv_icon

14:30 Uhr, 16.07.2011

Hallo erstmal,
ich bin neu hier, hoffe mir wird trotzdem schnell geholfen :-)

Nutzenfunktion:

u (c, f) = c^{0,5} + 2 f

Wobei "c" den Konsum und "f" die Freizeit darstellen. Die dem Individuum zur Verfügung stehende Zeitausstattung ist auf eins normiert und kann beliebig auf Freizeit und Arbeitszeit

(l = 1 - f)

aufgeteilt werden. Arbeitet das Individuum

l

Zeiteinheiten, so verdient es ein Einkommen von

w \cdot l,

wobei

w

den Lohnsatz des Individuums bezeichnet. Der Lohnsatz ist exogen gegeben es sei

w < 16

. (nicht kleiner gleich)

Die Aufgabe ist es, dass optimale Arbeitsangebot zu ermitteln.

Ich bin mir ziemlich sicher, dass man das mit dem LaGrange-Verfahren machen muss allerdings bin ich mir ziemlich unsicher wie die Nebenbedingungen gebildet werden sollen.

Der Konsum lässt sich auf jeden Fall durch

c = w \cdot l

bzw.

c = w \cdot (1 - f)

berechnen.
Meiner Meinung nach müsste die Lagrange Funktion ungefähr so aussehen, aber ich komme auf extrem komische Ergebnisse. (Normalerweise benutze ich

Λ,

aber da ich nicht weiß wie ich, dass hier schreibe

Λ = k)

L (c, f, k) = c^{0,5} + 2 f - k \cdot (c - (1 - f) \cdot w)

Wenn ich dann die partiellen Ableitungen bilde, komme ich auf:

1.

c^{- 0,5} - k

2. 2+kw
3.

- c + (1 - f) \cdot w

Wie behandle ich nun das w? Es wurde mir kein exakter Wert für

w

mitgeteilt und selbst wenn ich einen beliebigen Wert für

w

unter

16

angebe, bekomme ich für

f

einen Wert

> 1

und das kann nun wirklich nicht stimmen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

DmitriJakov aktiv_icon

14:56 Uhr, 16.07.2011

Also mir fallen da jetzt zwei Dinge auf:
Erstens ist der Grenznutzen der Freizeit konstant, was an sich ungewöhnlich ist. Und zweitens wird laut Annahme das gesamte Budget in den Konsum gesteckt, es existiert kein Sparen.

Damit sind

c

und

f

keine unabhängigen Variablen mehr und Du kannst eine durch die andere ausdrücken:

c = w \cdot (1 - f)

\to f = 1 - \frac{c}{w}

Damit wird aus

u (c, f) = c^{0,5} + 2 f

u_{1} (c) = c^{0,5} + 2 - \frac{2}{w} \cdot c

Nun kannst Du

c^{0,5}

durch

x

substituieren:

u_{1} (x) = x + 2 - \frac{2}{w} \cdot x^{2}

Und hast somit eine einfache quadratische Gleichung.

icehawk aktiv_icon

15:14 Uhr, 16.07.2011

Danke für die schnelle Antwort. Ich befürchte, aber dass ich damit nicht viel anfangen kann. Bei der Aufgabe handelt es sich nur um eine Teilaufgabe und ohne den LaGrange weg komme, ich dann später nicht weiter. Ist dir evtl ein Fehler bei meinem LaGrange Verfahren aufgefallen. Alternativ hätte ich auch noch eine andere Nutzenfunktion einer ähnlichen Aufgabe, ich hätte nur gerne einmal einen Ansatz um weiter zu kommen :-)

u (c, f) = c \cdot f^{0,5}

DmitriJakov aktiv_icon

15:28 Uhr, 16.07.2011

Wie gesagt, die beiden Variablen sind nicht unabhängig voneinander. Daher macht das Lagrange-Verfahren meiner Meinung nach hier keinen Sinn. Ich habe die Aufgabe schon zu Ende gerechnet. Ich zeig Dir mal, was bei mir herauskommt:

u_{1} (x) = - \frac{2}{w} \cdot x^{2} + x + 2

u_{1}' (x) = - \frac{4}{w} \cdot x + 1 = 0

x = \frac{w}{4}

Rücksubstitution:

c^{0,5} = x

c^{0,5} = \frac{w}{4}

\to c = \frac{w^{2}}{16}

und weil

f = 1 - \frac{c}{w} :

f = 1 - \frac{\frac{w^{2}}{16}}{w} = 1 - \frac{w}{16}

Somit wird auch deutlich, warum bei dieser Nutzenfunktion der Lohn auf unter

16

beschränkt ist, denn bei dem Lohn von

16

würde

f = 0,

der Mensch würde nur noch arbeiten und hätte keinen Spass mehr ;-)

PS: Deine andere Nutzenfunktion

u (c; f) = c \cdot f^{0,5}

geht genauso wie eben hier gezeigt.

icehawk aktiv_icon

15:41 Uhr, 16.07.2011

Danke ich probiere mal damit weiter zu arbeiten :-)

DmitriJakov aktiv_icon

15:45 Uhr, 16.07.2011

Wenn es Probleme gibt, einfach nochmal nachfragen :-)

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