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Lagrange-Restglied in 2 dimensionen

Universität / Fachhochschule

Funktionenreihen

Tags: Funktionenreihen, Lagrange, Restglied, Taylor, Taylorpolynom

Prof-Zwirnie aktiv_icon

15:51 Uhr, 28.09.2016

Hallo, ich habe eine Frage:
ich versuche das Lagrange-Restglied der zweidimensionalen Funktion

f (x, y) = cos (X) \cdot sinh (y)

an der Stelle

(\frac{π}{2}, ln 2)

zu bestimmen.

Ich habe diesbezüglich bereits die Formel gefunden:
( www.math.tugraz.at~wagner/Taylor.pdf)

R_{n} = \frac{1}{(n + 1)!} \cdot \sum_{i = 1}^{n} (\frac{(n + 1)!}{(n + 1 - j)! \cdot j!} \cdot \frac{d^{n + 1} f (x_{0} + Θ \cdot (x - x_{0}), y_{0} + Θ \cdot (y - y_{0}))}{(d x^{n + 1 - j} d y^{j})} \cdot {(x - x_{0})}^{n + 1 - j} + {(y - y_{o})}^{j})

Für ein

Θ

zwischen 0 und 1.
Hierbei verstehe ich nicht was mit

Θ

gemeint ist, wodurch ich die Formel nicht anwenden kann.
Ist das Lagrange Restglied nicht einfach das (n+1)te Glied der Taylorreihe?

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

16:03 Uhr, 28.09.2016

Hallo

Θ

ist einfach eine Zahl zwischen 0 und

1,

die man exakt nicht kennt, (sonst würde man ja das exakte Restglied kennen. um

R

abzuschätzen, muss man die Stelle von

f

wählen wo der Ausdruck maximal wird.
statt x0+Θ⋅(x−x0) kannst du auch

ξ

schreiben mit

x_{0} \leq ξ \leq x

Gruß ledum

Prof-Zwirnie aktiv_icon

12:55 Uhr, 29.09.2016

Hallo Ledum,

danke für deine Antwort :-)

In meinem Beispiel habe ich die Funktion bis

n = 2

entwickelt und bekomme

f_{2, (\frac{π}{2}, ln 2)} = (x - \frac{π}{2}) (- sinh (ln 2) - (y - ln 2) \cdot cosh (ln 2))

heraus.

Dein Tipp mit

x_{0} \leq ε \leq x

habe ich versucht in die Restglied-Formel zu integrieren.

Ich habe dazu

ε

mit

x 0 +

Θ·(x−

x 0)

und

ε_{1}

mit

y 0 +

Θ·(y−

y 0)

ersetzt.

Damit habe ich für das Restglied folgene Rechnung hergeleitet:

R_{2} = \frac{1}{3!} \cdot ((3 \cdot \frac{d^{3} F (ε, ε_{1})}{d ε^{3}}) \cdot {(x - x_{0})}^{3} + 3 \cdot \frac{d^{3} f (ε, ε_{1})}{d ε^{2} d ε_{1}} \cdot {(x - x_{0})}^{2} \cdot (y - y_{0}) + \frac{1}{2} \cdot \frac{d^{3} F (ε, ε_{1})}{d ε d ε_{1}^{2}} \cdot (x - x_{0}) \cdot {(y - y_{0})}^{2} + \frac{d^{3} F (ε, ε_{1})}{d ε_{1}^{3}} \cdot {(y - y_{0})}^{3})

Ist das bisher der richtige Weg?

ledum aktiv_icon

15:43 Uhr, 29.09.2016

Hallo
Um welchen Punkt hast du denn das Taylorpolynom bestimmt? irgendwie sieht es komisch aus .
das Restglied dazu passend sieht richtig aus, aber Natürlich musst du die Ableitungen einsetzen und wahrscheinlich doch das Restglied an der gegebenen Stelle abschätzen?
natürlich auch die Werte für

cosh (ln (2)

und

sinh (ln 2)

einsetzen.
Gruß ledum

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14:43 Uhr, 30.09.2016

Hallo,

Das Taylorpolynom habe ich um den Punk (pi/2,ln2)bis

n = 2

bestimmt.

Beim Restglied habe ich lediglich den ersten Schritt aufgeschrieben, bevor ich es nun tatsächlich

ausrechnen wollte :-). Für

y_{0}

setze ich dann

ln 2

ein und für

x_{0}, (\frac{π}{2})

.

Ich bin nun etwas verwirrt. Ich dachte ich könne sin bzw

cos (x 0 + Θ \cdot (x - x_{0}))

mit sin bzw

cos (ε)

ersetzen,
so wie

sinh

bzw

cosh (y 0 + Θ \cdot (y - y_{0}))

mit

sinh

bzw

cosh (ε_{1})

ersetzen.
Am Ende kann ich

ε

abschätzen.

ich bekomme für das Restglied:

R_{2} = \frac{1}{6} \cdot (sin (ε) \cdot sinh (ε_{1}) \cdot (x - (\frac{π}{2})) \cdot (3 \cdot (x - {(\frac{π}{2})}^{2} - \frac{1}{2} \cdot {(y - ln 2)}^{2}) + cos (ε) \cdot cosh (ε_{1}) \cdot (y - ln 2) \cdot ({(y - ln 2)}^{2} - 3 \cdot (x - {(\frac{π}{2})}^{2}))

(Rechenweg im Anhang)
Da

ε

größer gleich

(\frac{π}{2})

und

ε_{1}

größer gleich

ln 2

ist.
Nun wähle ich einfachheitshalber

ε = (\frac{π}{2})

und

ε_{1} = ln 2

\Rightarrow R_{2} = \frac{1}{6} \cdot (sinh (ln 2) \cdot (x - \frac{π}{2}) \cdot (3 \cdot (x^{2} - x \cdot π + \frac{π^{2}}{4}) - \frac{1}{2} \cdot (y^{2} - 2 \cdot y \cdot ln 2 + {(ln 2)}^{2})

= \frac{1}{6} \cdot (sinh (ln 2) \cdot (x - \frac{π}{2}) \cdot (3 \cdot x^{2} - 3 \cdot x \cdot π + 3 \cdot π^{2} - \frac{y^{2}}{2} + y \cdot ln 2 - {(ln 2)}^{2}))

kann das überhaupt so richtig sein? mir fällt auch keine geeignete Abschätzung ein

: s

Prof-Zwirnie aktiv_icon

18:14 Uhr, 30.09.2016

Hallo,
habe für

sinh

und

cosh

eine formel gefunden:

sinh = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} - e^{- x})

und

cosh (x) = \frac{1}{2} \cdot (e^{x} + e^{- x})

dadurch konnte ich die Taylorentwicklung mit

n = 2

und Entwicklungspkt

((\frac{π}{2}), ln 2)

vereinfachen:

T_{2, f} = (- x + \frac{π}{2}) (\frac{3}{4}) + (\frac{5}{4}) \cdot (y - ln 2)

Beim Restglied bekomme ich dann:

R_{2} = \frac{3}{2} \cdot (x - \frac{π}{2}) \cdot (\frac{5}{2} \cdot {(x - \frac{π}{2})}^{2} - {(y - ln 2)}^{2})

Ps: ich versuche die Rechenwege als jpg einzufügen, aber scheinbar funktioniert es nicht richtig...

ledum aktiv_icon

12:29 Uhr, 01.10.2016

Hallo
inzwischen ist mir deine Aufgabe nicht mehr klar: sollst du die Funktion um

(0,0)

entwickeln und dann an der Stelle

(\frac{π}{2}, ln (2))

das Restglied abschätzen, oder sollst du nur

T_{2}

an der Entwicklungsstelle

(\frac{π}{2}, ln (2))

aufstellen und allgemein

R_{2}

hinschreiben?
Wie lautet die Originalaufgabe?
Gruß ledum

Prof-Zwirnie aktiv_icon

12:45 Uhr, 01.10.2016

Hallo,
Tut mir leid dich verwirrt zu haben.
Die eigentliche Aufgabe ist es die Funktion

f (x, y) = cos (x) \cdot sinh (y)

an der Stelle

(\frac{π}{2}, ln 2)

bis

n = 2

zu taylorn.
Anschließend soll das Restglied

R_{2}

bestimmt werden, sodass:

f (x, y) = T_{2, (\frac{π}{2}, ln 2)} f (x, y) + R (x, y)

ledum aktiv_icon

11:53 Uhr, 02.10.2016

Hallo
dein

T_{2}

ist richtig, beim Restglied musst du aber das

ξ

und

η,

also die Zwischenstelle drin haben. dein

ε_{1}

und

ε_{2}

aus einem früheren post.
Gruß ledum

Prof-Zwirnie aktiv_icon

14:38 Uhr, 02.10.2016

Hallo Ledum,
wenn ich meine Zwischenstellen

(ε

und

ε_{1})

drin habe, dann komme ich nicht weiter...

R_{2}

ist bei mir dann immernoch sehr lang (siehe 1. kommentar vom

30.09.16

"ich bekomme für das Restglied: R_2=

[

...]")
Ich dachte, dass ich ab hier nun abschätzen müsste.

ledum aktiv_icon

15:00 Uhr, 02.10.2016

Hallo
Wenn du wirklich um

\frac{π}{2}, ln (2)

entwickeln sollst ist da ja

R 2 = 0

sonst müsste ein Intervall oder eine Stelle angegeben sein, für das du abschätzen sollst.
poste doch bitte die Originalausgabe.
Gruß ledum

Prof-Zwirnie aktiv_icon

15:47 Uhr, 02.10.2016

Aufgabe :
Die Funktion

f : ℝ^{2} \to ℝ

sei gegeben durch

f (x, y) = cos (x) \cdot sinh (y)

a)

Berechnen Sie

T_{2, (\frac{π}{2}, ln 2)} f (x, y),

das zweite Taylorpolynom im Entwicklungspunkt

(\frac{π}{2}, ln 2)

b)

Berechnen Sie das Lagrange-Restglied

R (x, y),

sodass:

f (x, y) = T_{2, (\frac{π}{2}, ln 2)} f (x, y) + R (x, y)

und begründen Sie sie.

ledum aktiv_icon

00:22 Uhr, 03.10.2016

Hallo
Du sollst also einfach das allgemeine Restglied wie im post von

12 : 55

Uhr,

29.09.2016

aber mit den konkreten Ableitungen mit den gegebenen Ableitungen an den Zwischenstellen hinschreiben und begründen, dass es richtig ist.
Gruß ledum

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