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Lagrangepolynome als orthonormalbasis

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Lagrange, Orthonormalbasis, polynom

anonymous

17:48 Uhr, 24.10.2019

Hallo es geht um folgende Aufgabe:

Es seien

L_{0} ..., L_{n}

die Lagrangepolynome mit

L_{i} (t) = \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{t - t_{j}}{t_{i} - t_{j}}, i = 1, ..., n

Zeigen sie, dass die Lagrangepolynome eine Orthonormalbasis des Polynomraumes

P_{n}

bzgl. des Skalarproduktes

(P, Q) := \sum_{i = o}^{n} P (t_{i}) Q (t_{i})

für

P, Q \in P_{n}

bilden.

So nun ist zuerst zu zeigen, dass

{| | L_{i} | |}_{P_{n}} = \sqrt{(L_{i}, L_{i})} = 1

gilt

\forall i

.

Mein Ansatz:

{| | L_{i} | |}_{P_{n}} = \sqrt{(L_{i}, L_{i})} = \sum_{i = o}^{n} L_{i} (t_{i}) = \sum_{i = o}^{n} \prod_{j = 0, j \neq i}^{n} \frac{t_{i} - t_{j}}{t_{i} - t_{j}} = \sum_{i = 0}^{n} 1 = n + 1

Bedeutet bei mir kommt

n + 1

und nicht 1 raus... habe ich einen Fehler begangen...?
Danke!!!

Lg Max Stuthmann

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen
Polynomfunktionen / ganzrationale Funktionen - Einführung

pwmeyer aktiv_icon

17:56 Uhr, 24.10.2019

Hallo,

Du bist mit den Indizes durcheinander gekommen. Außerdem hast Du Dich mit der Wurzel vertan (was sich allerdings rechnerisch nicht auswirkt):

(L_{i}, L_{i}) = \sum_{k = 0}^{n} L_{i} (t_{k}) \cdot L_{i} (t_{k}) = 1

weil

L_{i} (t_{k}) = 0,

außer für

k = i

.

Gruß pwm

anonymous

18:11 Uhr, 28.10.2019

Danke für ihre Antwort! Ist dann

k = j

hier? Denn sonst könnte ich mir

L_{i} (t_{k}) = 0

nicht erklären denn dann wäre es:

L_{i} (t_{k}) = \prod_{k = 0, k = i}^{n} \frac{t_{k} - t_{k}}{t_{i} - t_{k}} = 0

Und wieso ist dann

(L_{i} (t_{k}), L_{i} (t_{k})) = \sum_{k = 0}^{n} L_{i} (t_{k}) \cdot L_{i} (t_{k}) = 1

? Es ist doch

\sum_{k = 0}^{n} L_{i} (t_{k}) \cdot L_{i} (t_{k}) = \sum_{k = 0}^{n} 0 \cdot 0 = 0

LG Max Stuthmann

anonymous

18:28 Uhr, 28.10.2019

Damit könnte ich also lediglich die zweite Eigenschaft also

(L_{i} (t_{k}), L_{j} (t_{k})) = 0

mit

i \neq j

zeigen. Also, dass das Skalarprodukt von paarweise verschiedenen Lagrangepolynomen gleich 0 ist.

ledum aktiv_icon

02:31 Uhr, 29.10.2019

Hallo
da stand doch "ausser k=i"
Gruß ledum

anonymous

14:02 Uhr, 29.10.2019

Vielen Dank an euch beide für die Antworten! Habe nun alles verstanden. Ich stand wohl ein wenig auf dem Schlauch...

LG Max Stuthmann

anonymous

14:02 Uhr, 29.10.2019

Vielen Dank an euch beide für die Antworten! Habe nun alles verstanden. Ich stand wohl ein wenig auf dem Schlauch...

LG Max Stuthmann

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