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Landau-Symbol (klein "o")

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Zeige für x -> 0...

anonymous

21:41 Uhr, 15.11.2009

Hallo an alle, ich komme bei der folgenden Aufgabe, welche mit Landau-Symbol zu tun hat überhaupt nicht weiter.
Aufgabe:
Zeige, dass für

x \to 0

gilt

{log}_{2} x = o (\frac{1}{x}) .

Das Symbol neben der Klammer ist ein kleines "o". Ich weiss nicht, was man hier genau machen soll. Ich weiss nur, dass die Landau-Symbole im allgemeinen zum Vergleich des Wachstums von Funktionen dienen. Deshalb wäre ich sehr dankbar, wenn mir jemand dabei helfen könnte.
Vielen Dank schon im voraus.

Grüße

hagman aktiv_icon

22:02 Uhr, 15.11.2009

Zu zeigen ist

lim_{x \to 0} \frac{{log}_{2} (x)}{\frac{1}{x}} = 0

anonymous

22:04 Uhr, 15.11.2009

Danke für deine Antwort, aber wie kommst du denn jetzt auf diesen Ausdruck? ...und wie kann man es zeigen?

hagman aktiv_icon

22:18 Uhr, 15.11.2009

Ich komme darauf, indem ich die Definition von

o ()

aufdrösele.
Und wäre der limes nicht 0 (genau genommen wird natürlich nur

lim_{x \to 0^{+}}

betrachtet), so hieße das, dass es für ein gewisses

ε > 0

beliebig kleine positive

x

gäbe mit

| \frac{{log}_{2} (x)}{\frac{1}{x}} | > ε

.
Setzt man

y = \frac{1}{x},

so ist dies ist gleichbedeutend mit

| \frac{- {log}_{2} (y)}{y} | = | \frac{- {log}_{2} (y)}{y} | = | \frac{{log}_{2} (\frac{1}{y})}{y} | > ε,

wobei jezt aber

y

beliebig groß wird
Setzt man weiter

z = {log}_{2} (y),

wobei dann

z

ebenfalls beliebig groß wird, so steht da letztlich

\frac{1}{ε} \cdot z > 2^{z}

aber

2^{z}

wächst stärker als linear

anonymous

22:26 Uhr, 15.11.2009

Könntest du mir mal bitte erklären, wie du zum Schluss auf die Ungleichung

\frac{1}{ε} \cdot z > 2^{z}

kommst?
Die Substtuition mit

z = {log}_{2} y

kann ich nachvollziehen, aber du hast doch in der Zeile davor-mit dem absoluten Betrag

{log}_{2} (\frac{1}{y})

arrow30

23:15 Uhr, 15.11.2009

versuche es mit einer Taylor-reihe Entwicklungspunkt

X_{0} = 0

oder bei

X_{0}

kannst du folgendes sagen

: ({log}_{2} x)

= \frac{1}{(ln 2) \cdot x} = \frac{1}{1 - q} \to q = 1 - x ln 2, d a m i t \frac{1}{x \cdot ln 2} = \sum_{k = 0}^{\infty} {(1 - x ln 2)}^{k} \to I n t e g r a l

kommst du zurück auf

{log}_{2} x

anonymous

01:58 Uhr, 17.11.2009

Wie kommst du denn auf

\frac{1}{x \cdot ln (2)} = \frac{1}{1 - q}

?
Und könntest du deinen Ansatz vielleicht etwas näher dokumentieren?

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