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Lange Gleichung nach x auflösen. Etwas für Cracks

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation

Endi5 aktiv_icon

10:43 Uhr, 01.10.2014

Hi an alle,

Ich habe keine allzu komplizierte Frage nur ist die Gleichung, mit der ich beschäftigt bin, etwas unbequem.

Ich wollte folgende Funktion ableiten und nach

x

auflösen:

y =

D*sin

[

C*atan(B*x-E*[B*x-atan(B*x)])]

D, C, B, E,

und

x

sind Variablen.

Die Ableitung habe ich mit Matlab gemacht.
Das ableiten brachte folgende Lösung:

〉

syms

D C B E x y

〉

y=D*sin(C*atan(B*x-E*(B*x-atan(B*x))));

〉

diff(y,x)

Lösung im Anhang.

Nun wollte ich die Lösung nach

x

umstellen, aber er sagt, dass es da keine Lösung gibt und ich bekomme eine Warnung.

Setze ich die Ableitung null, fällt der Nenner weg. Zudem fällt einiges aus dem Zähler weg, sodass nur noch folgendes übrig bleibt:
C*atan(B*x

+

E*(atan(B*x)

- B \cdot x))) \cdot (B - E \cdot (B - \frac{B}{B^{2} \cdot x^{2} + 1}) = 0

Was mache ich nun? Nun kann der eine, oder der andere Teil wegfallen.

Kann mir einer sagen, wie ich die Ableitung nach

x

auflösen kann?

Bin für jede Hilfe dankbar.

Gruß
Endi

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

anonymous

12:10 Uhr, 01.10.2014

Hallo
Ich möchte vermuten, dass du unter der Bezeichnung "atan" die arctan-Funktion meinst.

Falls ja, dann:
Schon allein der Ausdruck

y = x +

arctan(x)
kann niemals eine explizite Umkehrfunktion haben.
Daraus kannst du leicht ersehen, dass es auch für deine Formel tatsächlich "keine Lösung gibt".

Endi5 aktiv_icon

12:42 Uhr, 01.10.2014

Hi,

Danke für deine Antwort. Ja, mit atan meine ich arctan.

Ich habe dazu noch eine andere Frage:

Ich kann aber die erste Ableitung und die Null setzen. Dann fällt der Nenner weg und ein Teil vom Zähler, weil ich auf der rechten Seite die Null stehen habe. Nun hätte ich folgenden Ausdruck der übrig bleibt:

(B \cdot x + E \cdot (

arctan

(B \cdot x) - B \cdot x)) \cdot (B - E \cdot (B - \frac{B}{B^{2} \cdot x^{2} + 1})) = 0

Nun kann ich den linken Teil auf die andere Seite bringen sodass der Teil auch wegfällt. Dann bleibt nur noch der rechte Teil übrig:

(B - E \cdot (B - \frac{B}{B^{2} \cdot x^{2} + 1})) = 0

Nun kann ich alles nach

x

auflösen und bekonmme einen Wurzelausdruck.

Wieso würde dieser Weg nicht funktionieren? Wo ist da mein Fehler?

Gruß
Endi

anonymous

12:52 Uhr, 01.10.2014

Ja, wenn das die Lösung ist, die dich interessiert, dann steht dir natürlich dieser Weg offen.

Endi5 aktiv_icon

13:24 Uhr, 01.10.2014

Vielen Dank für deine Antwort.

Ich möchte im Grunde genommen die Extremstelle der ursprünglichen Funktion ausrechnen.

Nun habe ich die Ableitung und setze die zu Null.

Nun wäre noch meine Frage, ob ich mit meinem angegebenen Rechenweg auch eine Extremstelle raus habe, oder ob ich das auf diese Weise nicht rechnen kann?

(B \cdot x + E \cdot (

atan(B*x)

- B \cdot x))) \cdot (B - E \cdot (B - \frac{B}{B^{2} \cdot x^{2} + 1}) = 0

Würde ich den rechten Teil auf die andere Seite bringen, würde ich keine Lösung erhalten. Deswegen bin ich da unsicher ob ich meinen Rechenweg ohne weiteres anwenden kann.

Gruß
Endi

anonymous

21:03 Uhr, 01.10.2014

Hallo nochmals.
Deine Ableitung habe ich nicht geprüft. So weit scheinst du ja sicher zu sein.

Du machst dann noch einige Anmerkungen, scheinst aber unsicher zu sein. Ich will gerne bestätigen und Unsicherheiten ausräumen:

a)

Ja, eine Funktion hat dort ihre Extremstellen, wo die Ableitung Nullstellen hat.

b)

Deine Ableitung lässt sich als Produkt zweier Faktoren auffassen.

c)

Satz vom Nullprodukt:
Ein Produkt wird stets dann Null, wenn einer der Faktoren Null wird.
In anderen Worten: Deine urspüngliche Funktion hat immer dann Extremstellen, wenn entweder der eine Faktor oder der andere Faktor Null wird.

d)

Den einen Faktor kannst du explizit nach

x

umstellen:

x = \pm \frac{1}{b \cdot \sqrt{e - 1}}

Das heisst an diesen beiden Stellen hast du Extremstellen.

e)

Den anderen Faktor kannst du nicht explizit nach

x

umstellen.
Du könntest

z . B

. numerisch arbeiten. Oder wie auch immer.
Jedenfalls wenn der andere Faktor Null wird, dann hast du dort weitere Extremstellen.

Endi5 aktiv_icon

12:54 Uhr, 07.10.2014

Vielen Dank für deine Rückmeldung.
Ich werde gucken, ob ich den linken Ausdruck mit Hilfe von Maple lösen und mir die Extremstellen ausgeben kann.

Danke für deine Antworten und deine Hilfestellung.

Gruß
Endi

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