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Laplace-Modell Würfelwurf, stochastisch unabhängig

Universität / Fachhochschule

Wahrscheinlichkeitsmaß

Tags: stochastische Unabhängigkeit, Wahrscheinlichkeitsmaß

 
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FahSoh03

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16:21 Uhr, 22.05.2022

Antworten
Ich verstehe nicht, wie man diese Aufgabe bearbeitet. Könnte mir das vielleicht jemand anhand der Lösung erklären, das wäre sehr nett.

Screenshot_20220522-161821_Samsung Notes

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich benötige bitte nur das Ergebnis und keinen längeren Lösungsweg."
Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:
 
Antwort
supporter

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17:20 Uhr, 22.05.2022

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p(A)=636=16

B:12,15,21,24,33p=636=16

unabhängig, wenn gilt: P(A) geschnitten mit P(B)=P(A)P(B)=1616=136

b)T:13,31,16,61,23,32,26,62,33,34,43,35,53,63,36,64,46,65,56,66p=2036=59

...


FahSoh03

FahSoh03 aktiv_icon

18:37 Uhr, 22.05.2022

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Vielen Dank! Wie schreibt man das denn jetzt formal auf oder reicht das so?

Antwort
N8eule

N8eule

23:29 Uhr, 22.05.2022

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Ich führe dir mal die (a) anschaulicher vor Augen:
Sei in den Zeilen das Wurfergebnis des ersten Wurfs.
sei in den Spalten das Wurfergebnis des zweiten Wurfs,
Die Summe der Augenzahlen beträgt dann:

. | . 1 . 2 . 3 . 4 . 5 . 6
------------------
1|. 2 . 3 . 4 . 5 . 6 . 7
2|. 3 . 4 . 5 . 6 . 7 . 8
3|. 4 . 5 . 6 . 7 . 8 . 9
4|. 5 . 6 . 7 . 8 . 9 . 10
5|. 6 . 7 . 8 . 9 . 10.11
6|. 7 . 8 . 9.10.11.12

Jetzt malst du dir mal alle Wurfergebnisse (besser als Supporter) grün an, die durch drei teilbar sind.
Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wurfergebnis durch drei teilbar ist?

Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass das Wurfergebnis durch drei teilbar ist, wenn du das Wurfergebnis des ersten Wurfs kennst, d.h. wenn du weißt in welcher Zeile du dich befindest?



So systematisch vorgegangen wird auch die (b) sicherlich kaum noch Rückfragen in Matheforen erforderlich machen.

Antwort
Gilbert von Greiff

Gilbert von Greiff aktiv_icon

02:44 Uhr, 23.05.2022

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Der Ergebnisraum Ω:={1,2,3,4,5,6}2,

mit der σ- Algebra Pot(Ω)  ( hier Pot für Potenzmenge ),

und dem Wahrscheinlichkeitsmaß P:Pot(Ω)[0,1],P(A)=|A|136

sind ein geeigneter Wahrscheinlichkeitsraum (Ω,Pot(Ω),P) für die Aufgabe.

Zu a)

Die Augenzahlsummen von 12 der 36 Ergebnisse sind teilbar durch 3

und für einen gegebenen ersten Wurf gibt es genau 2 Möglichkeiten,

mit dem zweiten Wurf eine durch 3 teilbare Summe zu erzielen,

also gilt für jedes k{1,2,3,4,5,6}

P(Ak)P(B)=1613=118=P(AkB)

und Ak und B sind stochastisch unabhängig.

Zu b)

Die Augenzahlprodukte von 20 der 36 Ergebnisse sind teilbar durch 3

( genauer |{(a,b)Ω:a{3,6} oder b{3,6}}|=20)

und wenn der erste Wurf 3 oder 6 ist, erzielt

jeder zweite Wurf ein durch 3 teilbares Produkt,

andernfalls gibt es dafür nur 2 Möglichkeiten (nämlich zweiter Wurf 3 oder 6),

also gilt

P(Ak)P(T)=1659=55416=P(AkT), falls k{3,6},

P(Ak)P(T)=1659=554118=P(AkT) sonst

und für kein k{1,2,3,4,5,6} sind Ak und T stochastisch unabhängig.







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HAL9000

HAL9000 aktiv_icon

10:55 Uhr, 23.05.2022

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(b) kann man auch so lösen: Wie erwähnt ist P(Ak)P(T)=1659=554.

Nun hat aber in diesem Laplaceschen W-Raum des zweifachen Würfelwurfs mit Ω=36 Elementarereignissen JEDES Ereignis eine Wahrscheinlichkeit, die ein ganzzahliges Vielfaches von 1Ω=136 ist. Bei angenommener Unabhängigkeit von Ak und T müsste mit Ansatz P(AkT)=m36 daher m36=?554 gelten, umgestellt m=103, Widerspruch zur Ganzzahligkeit.

D.h., man muss P(AkT) gar nicht konkret bestimmen, um die Frage der Unabhängigkeit hier zu verneinen - allerdings schadet es natürlich auch nicht. ;-)
Frage beantwortet
FahSoh03

FahSoh03 aktiv_icon

22:47 Uhr, 28.05.2022

Antworten
Vielen Dank euch allen!