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Laplace-Transformation --> Zeitverschiebungssatz

Schüler

Tags: Laplace Transformation, zeitverschiebung

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20:02 Uhr, 05.11.2012

Ich stelle mir die Frage wie ich f(t)=5(t-1) laplace-transformieren kann mit Hilfe des Zeitverschiebungssatzes.

Der Satz lautet ja:

L [f (t - t 0)] = F (s) \cdot e^{- s \cdot t 0}

Naja was ist den nun von der Funktion das F(s)?

Ohne den Zeitverschiebungssatz, kann ich das auch lösen:

F (s) = 5 (\frac{1}{s^{2}} - \frac{1}{s})

Aber wie gehts mit dem Satz?

In der Schule haben wir das komisch gemacht:

t -> 1/s^2

t-1 ->

\frac{1}{s^{2}} \cdot e^{- s}

t0=1

Genau so und ich möchte jetzt wissen warum und wo ist die 5 hin?
Ich verstehe das überhaupt nicht.

mfg

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

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20:11 Uhr, 05.11.2012

ohne verschiebung

f (t) = t

wird zu

F (s) = \frac{1}{s^{2}}

damit wird das ganze mit verschiebung zu

f (t - 1) = t - 1

L [f (t - 1)] = F (s) \cdot e^{- s}

hier kann jetzt das

F (s)

von oben einsetzen und wir erhalten

\frac{1}{s^{2}} e^{- s}

- - - - - -

jetzt hat man wie du bereits sagtest erstmal die 5 aussen vor gelassen... also nochmal insgesamt

ohne verschiebung

f (t) = 5 t

wird zu

F (s) = \frac{5}{s^{2}}

damit wird das ganze mit verschiebung zu

f (t - 1) = 5 (t - 1)

L [f (t - 1)] = F (s) \cdot e^{- s}

hier kann jetzt das

F (s)

von oben einsetzen und wir erhalten

\frac{5}{s^{2}} e^{- s}

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20:22 Uhr, 05.11.2012

Cool danke!

Das ist doch ganz easy :-D).

Aber wenn die 5 am Anfang gleich rein multipliziere: 5t-5, dann kann ich auch so mit Hilfe der Tabelle transformieren also:

F (s) = \frac{5}{s^{2}} - \frac{5}{s}

Dieses Ergebnis muss auch stimmen oder? Gibt es denn Fälle wo z.B. man z.B. mit den Zeitverschiebungssatz die Aufgabe einfacher lösen kann bzw. gibt es Bsp, die nur mit diesen Satz zu lösen sind?

Kannst du/Könnt ihr mir bitte ein paar nennen? Also nicht allzu schwere, da wir erst damit angefangen haben.

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20:34 Uhr, 05.11.2012

ja... deins ist auch korrekt...

beispiel wo sich der verschiebungssatz eignet

sin (t - 1)

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21:18 Uhr, 05.11.2012

Aber eins kommt mir noch komisch vor:

Wenn ich mit invers laplace transformation mache mit Wolframalpha:

1. bei

F (s) = \frac{5}{s^{2}} - \frac{5}{s}

kommt die ursprüngliche Funktion raus:
http://www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+transformation+5*%28%281%2Fs^2%29-%281%2Fs%29%29&a=*MC.s^2-_*Variable-

2. bei

\frac{5}{s^{2}} * e^{- s}

kommt folgendes raus: www.wolframalpha.com/input/?i=inverse+laplace+transformation+%285%2Fs^2%29*%28e^-s%29

Warum wird beim 2. noch die Sprungfunktion

σ (t - 1)

dazu multipliziert?

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21:25 Uhr, 05.11.2012

hmmm... erstmal, gehst du wirklich noch zur schule?? oder bist du so im 4. semester technikstudium universitaet??

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21:27 Uhr, 05.11.2012

HTL(Höhere Technische Lehranstalt) in Österreich.

Wenn man Grundschule etc. dazu rechnet dann ist das gerade 12. Klasse.

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21:31 Uhr, 05.11.2012

man man man... was bringt man euch denn schon in der schule bei xD

also dann bin ich gewillt zu sagen, das ist einfach so... ich weiss nicht wie die laplace transformation bei euch eingefuehrt wurde. aber darf ich annehmen, dass ihr einfach rechenregeln auswendig lernen muesst oder weisst du auch wie die transformationen zustande kommen? oder habt ihr auch schon gelernt wie man fourier transformiert...?

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21:33 Uhr, 05.11.2012

Ok xD.

Ne Fourie hatten wir nocht nicht. Naja für müssen einfach die Regeln: Ableitungssatz, Integralsatz, Zeitverschiebungssatz und Dämpfungssatz können.

Und dann halt einfach mit Hilfe der Laplace-Tabelle von f(t) nach F(s) rechnen oder umgekehrt^^.

CKims aktiv_icon

21:41 Uhr, 05.11.2012

dann ist es schwierig zu erklaeren warum da diese diskrepanz entsteht...

aber grob skizziert kann man folgendes sagen...

wenn du

5 t

laplacetransformierst, so transformiert man eigentlich immer

5 t σ (t)

. das nennt sich kausalitaet oder rechtsseitige laplacetransformation... man geht also davon aus, das ein signal bei

t < 0

immer null ist... das hat zur folge, dass die transformationsformeln einfacher aussehen als wenn man da noch die "vergangenheit" also fuer zeiten

t < 0

mit einbaut. erlauben kann man sich das, weil man davon ausgehen kann, dass jede maschine, die man betrachtet, irgendwann mal eingeschaltet wird.

wenn du also

5 (t - 1) σ (t)

"direkt" per tabelle transformierst, bleibt das

σ (t)

bestehen...

verwendest du dagegen den verschiebungssatz auf

5 t σ (t)

wird das

σ (t)

mitverschoben... also

5 (t - 1) σ (t - 1)

man muss hier also ein wenig aufpassen, was man wirklich machen will... aber ist das eigentlich fuer die praxis uninteressant, weil man dann erst eben 1 sekunde spaeter weiss was das signal so treibt

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