Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Laplace Transformation mit unstetiger Störfunktion

Laplace Transformation mit unstetiger Störfunktion

Universität / Fachhochschule

Gewöhnliche Differentialgleichungen

Partielle Differentialgleichungen

Tags: Gewöhnliche Differentialgleichungen, laplace, Partielle Differentialgleichungen, Stoerfunktion, transformation, Unstetigkeit

Delete aktiv_icon

09:39 Uhr, 20.06.2015

Hallo,

Ich stehe vor folgendem Problem:
"Bestimmen Sie mithilfe der Laplace-Transformation die Lösung des Anfangswertproblems.

y'' - 9 y = g (t), y (0) = 1, y' (0) = 0, g (t) = 3

für

0 \leq t \leq 3, g (t) = 0

für t<3."

Ich hab mir die Störfunktion einmal aufgezeichnet. Es handelt sich um einen einfachen Rechteckpuls. Dann hab ich die Sörfunktion in die Bildebene transformiert mit

F (s) = \int_{0}^{3} 3 \cdot e^{- s \cdot t} d t

. Das ergibt bei mir

\frac{3}{s} \cdot (1 - e^{- s \cdot t})

.
Der homogene Anteil wäre zudem:

s^{2} \cdot F (s) - s - 9 \cdot F (s) = 0

.
Ab hier (falls das alles überhaupt soweit stimmt) bin ich mir nicht mehr ganz sicher was zu tun ist. ich habe versucht die Gleichung:

s^{2} \cdot F (s) - s - 9 \cdot F (s) = \frac{3}{s} \cdot (1 - e^{- s \cdot t})

auf:

F (s) = \frac{3 - 3 \cdot e^{- s \cdot t} + s^{2}}{s \cdot (s^{2} - 9)}

zu bringen und mittels Partialbruchzerlegung zu vereinfachen woran ich aber gescheiter bin da ich nicht weiß wie ich mit dem

e^{- s \cdot t}

umgehe.

Wenn mir da jemand einen Tipp geben könnte wäre das fantastisch :-D)

MfG Delete

Loewe1

22:09 Uhr, 20.06.2015

Hallo,

1 .)

Ich habe für das Integral erhalten:

\frac{3 - 3 e^{- 3 s}}{s},

das

t

darf nicht stehen.

2.)Der homogene Anteil wäre zudem:

s^{2}

*F(s)−s−9*F(s)

das stimmt

3 .)

Ab hier bin ich mir nicht mehr ganz sicher was zu tun ist.

Ich habe erhalten:

F (s) = \frac{3 - 3 \cdot e^{- 3 s} + s^{2}}{s (s^{2} - 9)}

Das mußt Du aufspalten in 2 Terme, der Term

F (s) = \frac{- 3 \cdot e^{- 3 s}}{s (s^{2} - 9)}

kann durch Anwendung des Verschiebungssatzes gelöst werden.

Es gilt:

f (t - a) = e^{- a s} \cdot F (s)

Delete aktiv_icon

11:11 Uhr, 21.06.2015

Ups, da habe ich mich vertippt, das

t

fällt natürlich durch das einsetzen der Integralsgrenzen weg.
Ich habe wie empfohlen die Bildfunktion in zwei Terme gespalten:

F (s) = \frac{3 + s^{2}}{s^{2} \cdot (s^{2} - 9)} - \frac{3 \cdot e^{- 3 s}}{s^{2} \cdot (s^{2} - 9)}

.
Ich habe den Verschiebungssatz einmal unter die Lupe genommen.

f (t - a) = e^{- a \cdot s} \cdot F (s)

gilt für eine Verschiebung nach rechts, um die Strecke

a > 0

.

An dieser Stelle sind schon Fragen aufgetaucht :-P) Darf ich diesen Satz auf einen einzelnen Term anwenden oder muss ich die Gesamte Bildfunktion (also beide Terme) mit

e^{- a \cdot s}

multiplizieren?

Weiter darf a nur größer Null sein, was zur Folge hätte, dass mein

e^{- 3 \cdot s}

nicht wegfällt. Oder ist das alles überhaupt nur bezogen auf die Bildfunktion der Störfunktion

g (t)

? Aber selbst dann würde das

e^{- 3 \cdot s}

nicht wegfallen.

Vielleicht seh ich auch den Wald vor lauter Bäumen nicht :-D)
Meine Theorie: Es gibt ja auch den Verschiebungssatz, bei dem man nach links verschiebt:

f (t + a) = e^{a \cdot s} \cdot (F (s) - \int_{0}^{a} f (t) \cdot e^{- s \cdot t} d t)

.

Meine Frage hierzu (falls überhaupt diese Anwendung benötigt wird): Was ist hier mein

F (s)

(Annahme:

F (s)

von

g (t))

? Ist hier

f (t)

meine Störfunktion

g (t)

?
In beiden Fällen nehme ich an, dass eine verschiebung um

a = 3

sinnvoll wäre.

Tut mir Leid, dass ich so viele Fragen habe :-D) aber das Thema interessiert mich gerade mehr, denn je haha.

MfG Delete

Loewe1

16:31 Uhr, 21.06.2015

Hallo,

zu Deinen Fragen:

0 .)

Im Nenner steht

s (s^{2} - 9)

1.)Darf ich diesen Satz auf einen einzelnen Term anwenden ?

Nur auf den 2 . Term (mit der e-Funktion)

2.)Oder ist das alles überhaupt nur bezogen auf die Bildfunktion der Störfunktion

g (t)

? --->ja

3.)Es gibt ja auch den Verschiebungssatz, bei dem man nach links verschiebt:

----<stimmt, kann auch genommen werden

4 .)

Was ist hier mein

F (s)

\frac{3}{s (s^{2} - 9)}

5)In beiden Fällen nehme ich an, dass eine verschiebung um

a = 3

sinnvoll wäre.

-<ja

Und hier nun das Ergebnis:

u_{1} (t) = \frac{2 e^{- 3 t}}{3} + \frac{2 e^{3 t}}{3} - \frac{1}{3}

(1.Term)

u_{2} (t) = (\frac{2 e^{- 3 (t - 3)}}{3} + \frac{2 e^{3 (t - 3)}}{3} - \frac{1}{3}) H (t - 3)

(2.Term)

H=Heavisidefunktion

u (t) = u_{1} (t) - u_{2} (t)

Zur weiteren Vertiefung und Fragen empfehle ich dir den "Papula" ab Seite

617

ff.

Viel Spaß damit.

:-)

Delete aktiv_icon

21:19 Uhr, 21.06.2015

Danke!

1242646

1242292

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?