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Laplace-Wahrscheinlichkeiten beim "Kniffel"

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Tags: Kombinatorik, Laplace-Experiment

 
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schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

12:10 Uhr, 19.03.2009

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Hi Leute

da momentan in meinem nichtvirtuellen Umfeld sich Niemand für mathematische Berechnungen interessiert, bitte ich um Bestätigung oder Korrektur meiner Berechnungen bezüglich der Laplace-Wahrscheinlichkeiten bei dem Spiel "Kniffel" auch "Yathzee" genannt. Wie Kniffel gespielt wird kann man hier nachlesen de.wikipedia.org/wiki/Kniffel#Spielregeln , wobei ich die Regelung der Kniffel kann auch als Full House aufgeschrieben werden, zunächst nicht in meine Berechnungen einfließen lasse.



Speziell geht es mir um die Mindestwahrscheinlichkeiten des "unteren Blocks" (Dreierpasch, Viererpasch, Full House, ... Kniffel) bei einem Wurf mit den beim Kniffel verwendeten 5 sechsseitigen Würfeln mit den Augen von 1 bis 6.

Teilweise gibt es nur eine Wahrscheinlichkeit, bei der kleinen Straße aber zum Beispiel gibt es Überschneidungen da die große Straße auch die kleine ist. Dann frage ich nach der Wahrscheinlichkeit für mindestens eine kleine Straße.


Als Einstiegshilfe folgende Betrachtung:


Angenommen man würfelt mit zwei Würfen einen Teil einer kleinen Straße, zum Beispiel 1-2-3, dann benötigt man noch eine 4 und hat einen Wurf mit zwei Würfeln dazu. Um zu berechnen wie hoch die Wahrscheinlichkeit ist damit mindestens diese 4 zu würfeln muss man alle Kombinationsmöglichkeiten in Betracht ziehen. Die Reihenfolge der Würfel spielt also beim Kniffeln eine Rolle, beim Lotto zum Beispiel nicht:


1. Möglichkeit: der erste Würfel zeigt die 4 an und der zweite nicht.

2. Möglichkeit: der erste Würfel zeigt die 4 nicht an und der zweite zeigt sie an.

3. Möglichkeit: beide Würfel zeigen die 4 an.


Im Prinzip erstellt man immer einen Wahrscheinlichkeitsbaum, sind aber sehr viele Äste zu berechnen nimmt man besser die Kombinatorik zu Hilfe. Mit Wahrscheinlichkeitsbaum sieht das in diesem Fall so aus:


1. Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit = 1/6*5/6

2. Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit = 5/6*1/6

3. Möglichkeit, Wahrscheinlichkeit = 1/6*1/6


Nun addiert man noch diese drei Wahrscheinlichkeiten und erhält P für "mindestens eine 4" = 11/36



KNIFFEL mit einem Wurf: es gibt sechs Kniffel bei 6^5 Kombinationsmöglichkeiten insgesamt, daher PKn=6 / 6^5=1:1296



Mindestens einen DREIERPASCH mit einem Wurf: es gibt unterschiedliche Fälle, drei gleiche, vier oder fünf gleiche.

1. Fall: Beispiel 1-1-1-X-X ; wobei X ungleich des Auge des Paschs. Darin ist also auch das Full House enthalten. P1=6*(5über3)*5*5 / 6^5

2. Fall: Beispiel 1-1-1-1-X , P2=6*(5über1)*5 / 6^5

3. Fall: Kniffel, P3=6 / 6^5

P für mindestens einen Dreierpasch PDp=P1+P2+P3=23/108 ~ 1:4,7


Mindestens einen VIERERPASCH mit einem Wurf: zwei Fälle: vier gleiche oder fünf gleiche, siehe Dreierpasch. PVp=(6*(5über4)*5+6) / 6^5=13/648 ~ 1:49,8



FULL HOUSE mit einem Wurf: es gibt 6*5=30 Full Houses die unter den Würfeln mit 5über3 oder 5über2 kombiniert werden. Daher

PFH=6*5*(5über3) / 6^5=25/648 = 1:25,92


GROßE STRAßE mit einem Wurf: es gibt zwei große Straßen 1-2-3-4-5 und 2-3-4-5-6. Die Augen werden unter den Würfeln kombiniert mit 5!. Also

PGS=5!*2 / 6^5= 1:32,4


Mindestens eine KLEINE STRAßE mit einem Wurf: Fallunterscheidung hier sehr wichtig.

es gibt drei kleine Straßen, 1-2-3-4-X, 2-3-4-5-X und 3-4-5-6-X . X soll zunächst ungleich der Augen der Straße sein, daraus ergeben sich dann sechs Möglichkeiten wobei auffällt dass jede große Straße darunter doppelt vorkommt: 1-2-3-4-(5), 1-2-3-4-(6), (1)-2-3-4-5, 2-3-4-5-(6), (1)-3-4-5-6 und (2)-3-4-5-6 , die geklammerten Zahlen sind die X.

Also, P1=(4!*(5über1)*2*3 - 5!*2) / 6^5

Im zweiten Fall ist X gleich einer der Augen der kleinen Straße, Beispiel 1-2-3-4-1. Dann müssen die beiden gleichen Augen mit 5über2 kombiniert werden. Es ergibt sich P2=((5über2)*3!*4*3) / 6^5

P für mindestens eine kleine Straße, PKS=P1+P2= 1:6,48



Für mich auch noch interessant sind die Kombinationsmöglichkeiten die sich aus einem Wurf mit fünf Würfeln ergeben können ohne dass dabei die Reihenfolge der Würfel berücksichtigt wird. Beispiel: 1-1-2-2-3 ist gleich 1-2-2-3-1. Leider gelingt es mir bisher nicht ohne Fallunterscheidung zu kombinieren.


1. Fall: alle Würfel verschieden, Beispiel 1-2-3-4-6, = 6über5=6


2. Fall: 2 gleiche und 3 andere untereinander verschiedene, Beispiel 1-1-2-3-4, = 6*(5über3)=60



3. Fall: 2 gleiche, 2 andere gleiche und ein anderer, Beispiel 1-1-2-2-3, =6*5*4/2!=60 . Mit 2! muss dividiert werden da in 6*5 alle Kombinationen. Mam kann auch schreiben, (6über2)*4=60


4. Fall: 2 gleiche und drei andere gleiche (Full House), =6*5=30


5. Fall: 3 gleiche und 2 andere untereinander verschiedene, Beispiel 2-2-2-3-4, =6*(5über2)=60


6. Fall: 4 gleiche und ein anderer, Beispiel 3-3-3-3-5, =6*5=30


7. Fall: Kniffel, alle gleich, =6


Insgesamt sind es 252 Kombinationen.



Dieser Beitrag steht seit vier Tagen im Mathe-Forum auf uni-protokolle.de, aber trotz 50 Klicks habe ich bisher keine Antwort bekommen, nicht einmal die Beschwerde ich würde mich unpräzise oder unverständlich ausdrücken.


Daher doppeltes Danke für eure Mühe


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
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schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

17:18 Uhr, 19.03.2009

Antworten
Ich habe den Verdacht dass ich euch mit der ganzen Problematik erschlage. Es genügt mir aber schon wenn sich Jemand zum Beispiel nur die kleine Straße oder den Dreierpasch ankuckt.

Die Wahrscheinlichkeit für den Kniffel mit einem Wurf ist ohnehin klar, steht sogar auf der Wiki-Seite. Der Rest aber nicht.

Vielleicht macht sich ja doch einer die Mühe? Wäre echt klasse
Antwort
catweazle

catweazle

17:42 Uhr, 19.03.2009

Antworten

Das war nicht gerade mein Lieblingsthema. Aber da ich mich zur Zeit sowieso wieder ein wenig damit beschäftigen musste, kommen hier mal meine Gedanken zu dem Problem.
Ich würde die Kombinationen für mindestens eine kleine Strasse bei einem Wurf mit 5 Würfeln so betrachten:
a) es fallen die Zahlen 1, 2, 3 und 4 und dann eine beliebige Zahl.
Da die Reihenfolge egal ist, würde ich sagen, 4!6 Möglichkeiten.

b) es fallen die Zahlen 2,3,4 und 5 und dann eine von 1 unterschiedliche Zahl (da das bei a) schon drin ist), also 4!5 Möglichkeiten.

Insgesamt also 4!6+4!5 Möglichkeiten.


Hier gebe ich keine Garantie auf Richtigkeit, aber das fällt mir jetzt spontan dazu ein.
Antwort
catweazle

catweazle

18:09 Uhr, 19.03.2009

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Kleiner Nachtrag:
Und das Ganze noch mal 5, da diese einzeln betrachtete Zahl ebenfalls an jeder Position auftreten kann.

schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

18:24 Uhr, 19.03.2009

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Danke dass endlich Jemand antwortet (.:


Ich glaube du hast die dritte kleine Straße vergessen. Und ich denke du hast dennoch zu viele Kombinationen.



So ähnlich wie du hatte ich auch zunächst gedacht. Aber der Reihe nach. Es gibt drei kleine Straßen, 1234, 2345 und 3456. Die Reihenfolge der Würfel ist wichtig, denn ich will ja die Wahrscheinlichkeiten ausrechnen. Dafür muss man alle Kombinationsmöglichkeiten mit einbeziehen, siehe Wahrscheinlichkeitsbaum. Man muss also die Würfel quasi numerieren. Da bin ich mir ganz sicher. Das kann man

von dem Einführungsbeispiel dass ich gepostet habe ableiten.


Bei 1234 kann der Würfel eine beliebige Zahl anzeigen. Das würde für jede kleine Straße bedeuten 4!*(5über1)*6, denn die fünfte beliebige Zahl muss ja auch auf die fünf Würfel verteilt werden. ABER, was ist mit der Kombination 12341 oder 12342 ? In dem Fall haben wir eine Wiederholung, und die wird nicht doppelt kombiniert, denn es gibt keinen Unterschied zwischen der Kombination 111 und 111. Zumindest nicht in der Kombinatorik. Das kannst du am besten erkennen wenn du alle Möglichkeiten die sich aus 6*6 ergeben aufschreibst, also alle Kombinationsmöglichkeiten die zwei Kniffelwürfel ermöglichen. Dir wird auffallen dass die Zweierpaschs nur einmal vorkommen, alle anderen Kombinationen kommen doppelt vor. Also muss man bei einer kleinen Straße mit einer doppelten Zahl mit 5über2 und 3! kombinieren. Desweiteren ist zu beachten dass die große Straße mehrfach vorkommt, zwei große Straßen müssen subtrahiert werden.



Darin bin ich mir ziemlich sicher, aber ich gebe auch keine Garantie, ich versuche logisch zu denken. Also ruhig weitere Gedanken machen und mit mir diskutieren, ich wills richtig haben.

Danke erstmal (-:
Antwort
catweazle

catweazle

22:48 Uhr, 19.03.2009

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Du hast natürlich recht, die dritte kleine Straße habe ich ganz vergessen. Da muss ich darüber schlafen.
Antwort
catweazle

catweazle

09:16 Uhr, 20.03.2009

Antworten

So, ich habe darüber geschlafen.

Fallunterscheidung nach den drei möglichen Strassen:

Fall "1234 _" Möglichkeiten: wenn eine der vier schon vorhandenen Zahlen fällt, dann gibt es 45!2 Möglichkeiten; wenn eine 5 oder 6 fällt, dann gibt es jeweils 5! Möglichkeiten diese 5 Zahlen anzuordnen. Also insgesamt 45! Möglichkeiten.

Fall "3456_" Möglichkeiten: wie oben, allerdings schließe ich hier von vornherein die 2 aus, da ich die im unteren Fall betrachte. Also gibt es für die vier schon vorhandenen Zahlen 45!2 Möglichkeiten und für die 1 noch 5! Möglichkeiten. Insgesamt 35! Möglichkeiten.

Fall "2345_" Möglichkeiten: wie oben für die schon vorhandenen Zahlen. Die anderen beiden Zahlen (1 und 6) schließe ich aus, da sie in einem der obigen Fälle schon dabei sind. Also bekomme ich hier insgesamt 45!2=25! Möglichkeiten.


Und für alle Fälle zusammengerechnet: 95! Möglichkeiten.
Dann brauche ich nichts abzuziehen, da die Fälle disjunkt sind.
Was meinst Du?
schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

18:07 Uhr, 20.03.2009

Antworten
Yeah, jetzt wird es gut, allerdings btw ziehst du doch auch etwas ab, du nennst es nur ausschließen oder?



Aber du hast so wie ich das sehe einen ganz kleinen Denkfehler begangen. Wenn der noch ausgemerzt wird kommen wir auf dasselbe Ergebnis. Wenn ich mich jetzt vertue wirds peinlich, aber was solls (-:.


Fall "1234" hast du mMn völlig richtig berechnet.


Aber bei den anderen beiden Fällen stimmt was nicht. Du schließt bei "3456" die 2 aus weil du sie im unteren Fall "2345" betrachten willst. Das machst du aber wie ich das sehe nicht, denn die Kombination "2345(6)" im unteren Fall fehlt da du die Zahlen 1 und 6 ausschließt. Wenn du im dritten Fall die 6 mit einschließt kommst du auf 10*5! , das entspricht exakt meinem Ergebnis.




Wie würdest du eigentlich "mindestens einen Viererpasch" berechnen?
Antwort
catweazle

catweazle

19:00 Uhr, 20.03.2009

Antworten
Du hast recht, ich gebe mich geschlagen. Den Fall habe ich gar nicht betrachtet. Dann sind wir uns hier also einig :-)

Mindestens ein Vierer-Pasch ist viel leichter (würde ich jetzt mal sagen).
Möglichkeiten:
5er-Pasch: 6 mal

4er-Pasch: 655, da 6 die Anzahl der vorhandenen Zahlen ist, 5 die Anzahl der möglichen Positionen für die Zahl, die ungleich den anderen 4 Zahlen ist und 5 die Anzahl der möglichen Zahlen ist, die den echten Viererpasch vervollständigt (ich muss ja den 5er Pasch ausschließen, da ich den oben betrachtet habe).

Also insgesamt 156 Möglichkeiten.


Wie Du sicher schon bemerkt hast, argumentiere ich zur Zeit nicht mit nk, das musste ich mir gerade wieder abgewöhnen.



schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

20:16 Uhr, 20.03.2009

Antworten
sehr schön, den Viererpasch habe ich auch so berechnet. Jetzt ist der Dreierpasch noch interessant. Full House ist wohl auch nicht ganz so schwer, kannst ja mal kucken.

Große Straße und Kniffel sind vergleichsweise trivial.


Wieso gewönst du dir den Binomialkoeffizienten ab? Der macht die Berechnungen doch viel verständlicher.
Antwort
catweazle

catweazle

01:43 Uhr, 21.03.2009

Antworten

Der Binomialkoeffizient presst das Thema aber zu sehr in einen Rahmen. Laut Lehrplan kommt das erst in einer späteren Klassenstufe (ich unterrichte zur Zeit eine 8. Klasse, die verwenden das noch nicht).
schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

09:47 Uhr, 21.03.2009

Antworten
Du bist Lehrerin, ein Glücksfall für mich (-:. Soll das bedeuten dass in der 8ten kombiniert wird? Oder meinst du Stochastik in Form von Wahrscheinlichkeitsbäumen?
Antwort
catweazle

catweazle

14:42 Uhr, 21.03.2009

Antworten

Es wird auch kombiniert, natürlich zum Teil mit Wahrscheinlichkeitsbäumen. Das Zählprinzip wird vermittelt, das Gesetz der großen Zahl wird behandelt, Laplace-Wahrscheinlichkeiten werden eingeführt, Ereignisse betrachtet und etliche Aufgaben werden gerechnet (alles ohne den Binomialkoeffizienten). Die Wahrscheinlichkeit für einen 6er im Lotto kann auch so gerechnet werden :-)



schwanzbartkiller

schwanzbartkiller aktiv_icon

19:48 Uhr, 21.03.2009

Antworten
Interessant. Wahrscheinlichkeitsbäume haben wir in der 9. auch gemacht. An mehr kann ich mich allerdings nicht erinnern, in der Zeit war ich leider grottenfaul in Sachen Schule. Aber vor einigen Jahren habe ich mitbekommen wie versuchsweise das Ziegenproblem mit allen Stufen eines Gymnasiums besprochen wurde, mit Erfolg. Man kann jungen Schülern offensichtlich eine ganze Menge beibringen, mehr als einige Pädagogen für möglich halten.



Übrigens klasse dass du dich mit der Kniffelproblematik kompromisslos auseinandersetzt.


Drei Aufgaben hätte ich noch.


Mindestens einen Dreierpasch mit einem Wurf sowie Full House und die Gesamtzahl aller Kombinationsmöglichkeiten die sich aus einem Wurf mit fünf Würfeln ohne Numerierung der Würfel, also ohne die Reihenfolge zu beachten, ergeben können.
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