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Laplace, komplexe Partialbruchzerleglegung

Universität / Fachhochschule

Tags: Komplex, Laplace Rücktransformation, Partialbruchzerlegung

arbeiter aktiv_icon

13:05 Uhr, 13.08.2016

Hallo liebe Community,

Diesmal habe ich eine Frage zur Laplace-Rücktransformation mit komplexer Partialbruchzerlegung PBZ.

Die Funktion im Frequenzbereich ist bekannt und soll wieder zurück in den Zeitbereich transformiert werden. Dabei verwende ich die PBZ, um dann bekannte Korrespondenzen verwenden zu können:

\frac{1}{p \cdot (p - p 1) \cdot (p - p 2)}

=PBZ=

\frac{A 1}{p} + \frac{A 2}{p - p 1} + \frac{A 3}{p - p 2}

p 1

und

p 2

sind zueinander komplex konjugierte Polstellen. Sei

p 1 = a + b \cdot i, p 2 = a - b \cdot i

Also sind auch

A 2, A 3

komplex:

A 1 = \frac{1}{p 1 \cdot p 2}

wurde mit den gegebenen Zahlen reel.

A 2

=konjugiert

A 3

Jetzt meine Frage: Es gilt ja

\frac{1}{p - o} \to e^{o \cdot t} \cdot s (t)

(s :

Sprung an

t = 0);

Dann im Zeitbereich

\to [A 1 + A 2 \cdot e^{p 1 \cdot t} \cdot t + A 3 \cdot e^{p 2 \cdot t}] \cdot s (t)

Jetzt kann ich natürlich die Werte einsetzen, und weil

A 2, A 3, p 1, p 2

jeweils komplex sind kann man auch auf

sin ()

und

cos ()

mit eulerscher Form umformen.

Am Ende ergab sich durch Umformen:

A 1 + e^{a \cdot t} (x \cdot cos (b \cdot t) - 2 y \cdot sin (b \cdot t))

(x \neq 2 y)

In der Lösung steht allerdings, (Nach Einsetzen von Werten)

\approx 1 + e^{a \cdot t} \cdot cos (ω \cdot t + 0,983 \cdot π)

.

Ich schaffe es einfach nicht, die Addition von

cos

und

sin ()

mit verschiedenen Vorfaktoren auf das Ergebnis mit einem in der Zeit verschobenen

cos

.
Wie kann ich das umformen?
Gibt es für komplexe Partialbrüche einfachere

(v . a

. schnellere) Rücktransformationen?

Ich danke für die Arbeit sich das durchzulesen und mit weiter zu helfen.

Grüße
arbeiter

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

ledum aktiv_icon

13:40 Uhr, 13.08.2016

war aus Versehen doppelt

ledum aktiv_icon

13:40 Uhr, 13.08.2016

Hallo
allgemein : du willst

A \cdot sin (x) + B \cdot cos {x) = C \cdot cos (x + φ)

erreichen.
du weisst

cos (x + φ) = cos (x) \cdot cos (φ) - sin (x) \cdot sin (φ)

deshalb wenn

A^{2} + B^{2} = 1

kannst du

A = - sin φ B = cos φ

setzen. wenn nicht mach es so

A \cdot sin (x) + B \cdot cos {x) = \sqrt{A^{2} + B^{2}} \cdot (\frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \cdot sin (x) + \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} \cdot cos (x))

und jetzt

\frac{A}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = - sin (φ), \frac{B}{\sqrt{A^{2} + B^{2}}} = cos (φ)

oder

\frac{A}{B} = - tan (φ)

dann hast du insgesamt

A \cdot sin (x) + B \cdot cos {x) = C \cdot cos (x + φ)

mit \phi=arctan(-A/B),

C = \sqrt{A^{2} + B^{2}}

Gruß ledum

arbeiter aktiv_icon

17:41 Uhr, 13.08.2016

Hallo ledum,

danke dir für die schnelle Erklärung. Soweit habe ich das auch nachvollziehen können, und rausgefunden, dass ich mich noch irgendwo in der Aufgabe davor verrechnet habe...

Noch eine Frage: Hat diese "Umrechnung" auch einen speziellen Namen oder wurde nach jemanden benannt?

In der Prüfung dürfen wir eine mathematische Formelsammlung (Bronstein) mit Verweis verwenden, da wäre die passende Seite natürlich Gold wert. Sonst macht man's halt per Hand (dauer länger)

Grüße
arbeiter

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