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Laplace von cos(wt) mit Integrationssatz

Schüler

Tags: cos, Integrationssatz, Laplace Transformation

MrToasty97 aktiv_icon

15:16 Uhr, 08.01.2016

Gegeben ist die Funktion

f (t) = c o s (ω * t)

. Nun muss die Laplace-Transformierte der Funktion

f (t)

berechnet werden und zwar mit dem Integrationssatz.

Integrationssatz ist definiert als:

L {\int_{0}^{τ} f (τ) d τ} = \frac{1}{s} * L (s)

Meine Vorgehensweise bisher bei solchen Beispielen war immer folgende:

1)

f (t)

ableiten

\to

\frac{d}{d t} f (t) = - ω * s i n (ω * t)

L {c o s (ω * t)} = L {\int_{0}^{τ} - ω * s i n (ω * τ) d τ} = \frac{1}{s} * - \frac{ω^{2}}{ω^{2} + s^{2}}

Wie man unschwer erkennen kann ergibt das Ergebnis nach Schritt 2 nicht

\frac{s}{ω^{2} + s^{2}}

.

Ich denke ich habe irgendwo bei Schritt 1 schon einen Denkfehler, denn auch das Integral(

\int_{0}^{τ} - ω * s i n (ω * τ) d τ

) der Ableitung ergibt nicht die Originalfunktion

c o s (ω * t)

sondern

c o s (ω * t) - 1

.

Ich wäre dankbar wenn mir hierbei jemand hilft.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

MrToasty97 aktiv_icon

16:19 Uhr, 08.01.2016

Ich hab jetzt mal einen Lösungsweg gefunden, ich hoffe jemand kann mir bestätigen dass dies der richtige Weg ist.

Da die Laplacetransformation ja immer erst bei 0 beginnt, kann man eine Funktion

f (t)

als aller erstes mit der Heaviside-Funktion multiplizieren. Dann erhält man

f (t) * σ (t)

. Die Originalfunktion sieht dann so aus:

f (t) = c o s (ω * t) * σ (t)

f (t)

ableiten: Ich habe die Ableitung mit Mathcad gemacht, ist mir händisch zu aufwändig.

\to \frac{d}{d t} f (t)

δ (t) * c o s (ω * t) - ω * σ (t) * s i n (ω * t)

L {c o s (ω * t)}

L {\int_{0}^{τ} (δ (t) * c o s (ω * t) - ω * σ (t) * s i n (ω * t)) d τ}

\frac{1}{s} * \frac{s^{2}}{ω^{2} + s^{2}}

\frac{s}{ω^{2} + s^{2}}

Roman-22

21:00 Uhr, 08.01.2016

Die Beschränkung auf

t \geq 0

mit der Sprungfunktion löst zwar dein Problem, ist aber nicht die eigentliche Ursache.
Dieser bist du aber ohnedies bereits auf der Spur, wie deine letzte Bemerkung in deinem ersten Post zeigt.

Du hast eine Funktion

F (t),

möchtest sie unter Verwendung des Intergralsatzes transformieren und behauptest, dass mit

f (t) = \frac{d}{d t} F (t)

gilt:

f (t) = \int_{0}^{t} f (τ) d τ

(die obere Integralgrenze soll

t

sein, nicht

τ)

. Aber genau das ist nicht richtig, wie du selbst erkannt hast.

Vielmehr gilt

\int_{0}^{t} f (τ) d τ = F (t) - F (0)

und du bekommst daher immer dann dieses Probleme, wenn

F (0)

nicht 0 ist. Beispielweise bereits, wenn du

F (t) = 1

auf diese Weise transformierst.

Die Lösung ist zum Glück einfach - es gilt eben

F (t) = F (0) + \int_{0}^{t} f (τ) d τ

Für

F (t) = cos (ω t)

ist

F (0) = 1

und daher gilt

ℒ

{cos (ω t)} =

ℒ

{1 + \int_{0}^{t} [- ω \cdot sin (ω τ)] d τ} = \frac{1}{s} + \frac{1}{s} \cdot \frac{- ω^{2}}{s^{2} + ω^{2}} = \frac{s}{s^{2} + ω^{2}}

und das passt dann auch.

R

MrToasty97 aktiv_icon

11:57 Uhr, 09.01.2016

Danke Roman-22, deine Antwort. Das mit den Integralgrenzen

τ

anstelle von

t

war keine Absicht sondern ein Flüchtigkeitsfehler, auf dem Papier bei mir habe ich das zumindest richtig aufgeschrieben.

Deine Erklärung klingt für mich sehr plausibel und auch logisch. Das mit dem addieren eines Wertes habe ich mir auch schon überlegt gehabt, ich frage mich nun nur woher das kommt dass man

F (0)

addieren muss?

Roman-22

13:52 Uhr, 09.01.2016

>

Das mit den Integralgrenzen τ anstelle von

t

war keine Absicht
Ja, und ich finde es ja überhaupt schon gut, dass du nicht

F (t) = \int_{0}^{t} f (t) d t

schreibst und dir bewusst ist, dass die Integrationsvariable nicht

t

sein darf. Denn das findet man leider nur all zu oft auch in ansonsten durchaus seriöser Fachliteratur.

>

woher das kommt dass man

F (0)

addieren muss?
Nun, du hast eine Funktion

F (t),

du differenzierst sie und erhältst

f (t) = F' (t)

. Dann integrierst du

f (t)

und erwartest, wieder genau bei

F (t)

zu landen. Leider ist aber die Integration nicht eindeutig - alle Stammfunktionen unterscheiden sich bekanntlich um eine additive Konstante. Wenn wir also das unbestimmte Integral verwenden und wir genau

F (t)

haben wollen, müssen wir die Integrationskonstante entsprechend wählen - eine von den unendlich viele Stammfunktionen ist ja unser ursprüngliches

F (t)

.

Nun verwenden wir aber nicht das unbestimmte Integral, sondern das bestimmte Integral

\int_{0}^{t} f (τ) d τ

und hier ist das Ergebnis eindeutig, hier gibt es keine Integrationskonstante zu wählen. Allerdings ist die Funktion, die sich durch dieses bestimmte Integral ergibt eben nur eine der vielen möglichen Stammfunktionen. Und zwar ist es immer genau jene, welche durch den Ursprung verläuft, also an der Stelle

t = 0

den Funktionswert 0 hat.
Geht der Graph unserer Ausgangsfunktion

F (t)

durch den Ursprung, dann passt jetzt alles. Falls das aber nicht der Fall ist und wir durch das bestimmte Integral dann eben eine "falsche" Stammfunktion erhalten, müssen wir die erhaltene Funktion entsprechend anpassen, indem wir eine geeignete Konstante (die ist natürlich

F (0))

addieren. Es folgt ja, wie ich es vorhin schon geschrieben hatte, auch unmittelbar aus der Definition des bestimmten Integrals:

\int_{0}^{t} f (τ) d τ = F (t) - F (0)

. Diese Gleichung musst du jetzt nur mehr nach

F (t)

auflösen.

Eine Alternative wäre

F (t) = \int_{t_{0}}^{t} f (τ) d τ

mit

F (t_{0}) = 0

zu benutzen. Also die Integration bei einer bekannten Nullstelle

t_{0}

von

F (t)

zu beginnen. Aber dieses Integral können wir bei der Laplace-Trafo schlecht gebrauchen und außerdem ist das nicht immer möglich, da

F (t)

nicht zwangsläufig eine Nullstelle besitzen muss. Einfachstes Beispiel dafür die konstante Funktion

F (t) = 1

R

MrToasty97 aktiv_icon

14:00 Uhr, 09.01.2016

Super danke, jetzt habe ich auch das letzte Puzzelstück verstanden.

Auf die Lösung mit umformen bzw. dass ich die Addition von

F (0)

aus der Definition ergibt hätte ich auch selbst kommen können :-D).

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