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Laurent-Reihe

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Funktionentheorie

Komplexe Zahlen

Tags: Funktionentheorie, Komplexe Zahlen

Opaque

11:23 Uhr, 14.02.2019

Ich bin ein vollkommener Anfänger wenn es um Laurent-Reihen geht.

Aufgabe:
Die Kosinus-Funktion besitzt die Taylorreihe

$cos (z) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k)!} \cdot z^{2 k}$

$a)$ Geben Sie die Laurent-Reihe der Funktion
$f : ℂ {0} \to ℂ, f (z) = z cos (\frac{1}{z})$
um den Punkt 0 an.
$b)$ Welchen Typ von Singularität hat $f (z) \in 0$ ?
$c)$ Berechnen Sie das Residuum von $f \in 0$ .

kann mir jemand erklären wie ich die Laurent-Reihe herausfinde?
Habe mir schon ein paar Videos angeschaut aber hat nicht viel geholfen.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

fan13

11:48 Uhr, 14.02.2019

Junge das ist so schlimm..

Opaque

12:39 Uhr, 14.02.2019

Hier auch mein Ansatz (der wahrscheinlich falsch ist):

$\sum_{k = 0}^{\infty} [\frac{1}{2 Π \cdot i} \oint z \cdot \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k + 1}} d z] z^{k} + \sum_{k = 1}^{\infty} [\frac{1}{2 Π \cdot i} \oint z \cdot \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k + 1}} d z] \frac{1}{z^{k}} =$

$\frac{1}{2 Π \cdot i}$ ausgeklammert und jeweils ein $z$ im integral gekürtzt

$= \frac{1}{2 Π \cdot i} [\sum_{k = 0}^{\infty} \oint \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k}} d z \cdot z^{k} + \sum_{k = 1}^{\infty} \oint \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k}} d z \cdot \frac{1}{z^{k}}] =$

die Beiden Summen zusammengeschlossen

$= \frac{1}{2 Π \cdot i} [\sum_{k = 0}^{\infty} \oint \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k}} d z \cdot z^{k} + \oint \frac{cos (\frac{1}{z})}{z^{k - 1}} d z \cdot \frac{1}{z^{k - 1}}] =$

dann $cos$ ersetzt mit der summe

$= \frac{1}{2 Π \cdot i} [\sum_{k = 0}^{\infty} \oint \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k!) \cdot z^{3 k}} d z \cdot z^{k} + \oint \frac{{(- 1)}^{k}}{(2 k!) \cdot z^{3 k - 1}} d z \cdot \frac{1}{z^{k - 1}}] =$

$\frac{{(- 1)}^{k}}{2 k!}$ aus dem integral ziehen

$= \frac{1}{2 Π \cdot i} [\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k!} (\oint \frac{1}{z^{3 k}} d z \cdot z^{k} + \oint \frac{1}{z^{3 k - 1}} d z \cdot \frac{1}{z^{k - 1}})]$

ich hab ehrlich gesagt keine Ahnung ob ich in die richtige Richtung gehe hiermit.

fan13

12:47 Uhr, 14.02.2019

Ohaa was ist das $: o$

ermanus aktiv_icon

12:53 Uhr, 14.02.2019

Hallo,
guckt doch mal in eure Unterlagen.
Da steht irgendwo drin, dass das Residuum der Koeffizient von $z^{- 1}$
in der Laurentreihe ist, also muss man ihn doch wohl unmittelbar ablesen können ...
Gruß ermanus

Opaque

12:56 Uhr, 14.02.2019

Würde ich ja machen, aber ich scheitere ja schon daran die Laurentreihe aufzustellen.
Und solange ich die nicht habe kann ich auch nichts rauslesen.
Oder übersehe ich etwas?

ermanus aktiv_icon

12:59 Uhr, 14.02.2019

Du musst doch nur in das $z$ deiner $\cos$ -Reihe $z^{- 1}$ einsetzen,
und am Ende den Faktor $z$ unter die Summe ziehen.

fan13

13:03 Uhr, 14.02.2019

Was ist damit

Opaque

13:06 Uhr, 14.02.2019

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k!} \cdot \frac{1}{z^{2 k}}$

ist der $cos (\frac{1}{z})$

und $z \cdot cos (\frac{1}{z}) = \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k!} \cdot \frac{1}{z^{2 k - 1}}$

meinst du das? Ich versteh leider nicht wie man hier etwas rauslesen kann $: ($

EDIT:
Oder meinst du das

$\sum_{k = 0}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{k}}{2 k!} \cdot \frac{1}{z^{2 k - 1}}$

schon die Laurent-Reihe ist $: o$

ermanus aktiv_icon

13:10 Uhr, 14.02.2019

Ja, na klar ist das die Laurent-Reihe :-)
Welcher Koeffizient steht denn nun vor $\frac{1}{z}$ ?

fan13

13:10 Uhr, 14.02.2019

so hier was wäre damit

EDIT: ich nehms zurück

Opaque

13:18 Uhr, 14.02.2019

"Welcher Koeffizient steht denn nun vor $\frac{1}{z}$ ?"

Vorsicht möglicherweise dumme Antwort:

$- \frac{1}{2!}$ also $- \frac{1}{2}$ ?

ermanus aktiv_icon

13:24 Uhr, 14.02.2019

Vollkommen richtig!
Ihr macht euch das Leben aber recht schwer, so geht's doch
viel übersichtlicher:

$\cos (z) = 1 - \frac{1}{2} z^{2} \pm \dots$ , also
$\cos (\frac{1}{z}) = 1 - \frac{1}{2} \frac{1}{z^{2}} \pm \dots$ , folglich
$z \cos (\frac{1}{z}) = z - \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{z} \pm \dots$ .

fan13

13:29 Uhr, 14.02.2019

also residuum immer koeffizient von dem was eingesetzt werden soll in der jeweiligen aufgabe?

Opaque

13:31 Uhr, 14.02.2019

Das Residuum ist dann immer an der stelle von $z^{- 1}$ ?

Die Unterlagen die ich über die Laurent reihe habe sind leider sehr schwammig.
(zu einzelnen Funktionen wird nur geschrieben:
das Residuum ist offensichtlich "xyz" aber wieso und wie man drauf kommt steht nicht dabei)

Vielen vielen Dank für die Hilfe bisher.

ermanus aktiv_icon

13:31 Uhr, 14.02.2019

@fan13: Nein, so würde ich das nicht allgemein sagen.
Das Residuum ist immer der Koeffizient der Laurentreihe um $z_{0}$ ,
der vor dem $(z - z_{0})^{- 1}$ steht.

Opaque

13:34 Uhr, 14.02.2019

Puh ok, das war sehr sehr hilfreich Dankeschön!

fan13

14:00 Uhr, 14.02.2019

Hebbare Singularität dann?

ermanus aktiv_icon

14:06 Uhr, 14.02.2019

Wenn der Teil der Laurentreihe, der die negativen $z$ -Potenzen enthält,
also der sogenannte Hauptteil, unendlich viele Summanden enthält,
dann hat die Reihe im Entwicklungspunkt eine wesentliche Singularität,
sollte sie nur endlich viele Reihenglieder mit negativen Exponenten
enthalten, handelt es sich um einen Pol. Ist die Funktion
an der Entwicklungsstelle beschränkt, so besitzt sie dort
eine hebbare Singularität.
Also liegt doch hier das glatte Gegenteil vor: Eine wesentliche Singularität!

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