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Laurent Reihe um z0=-i berechnen

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Folgen und Reihen

Komplexe Analysis

Tags: Folgen und Reihen, Komplexe Analysis

 
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capstrovor

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18:04 Uhr, 15.11.2018

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Hallo, ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:

f(z)=1z2-3z+2

Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung um 0 und um -i in allen maximalen Konvergenzkreisringen.

Für die Entwicklung um 0 habe ich f mittels Partialbruchzerlegung in

f(z)=1z-2-1z-1

umgeschrieben und dann umgeformt, um auf eine Potenzreihe zu kommen:

f(z)=n=0(1-(12)n+1)zn

Der maximale Konvergenzkreisring wäre dann die Punktierte Umgebung um 0 mit Radius 1, oder?

Aber wie gehe ich bei der Entwicklung um -i vor?
Muss ich zuerst den Nenner irgendwie auf die Form (z+i)*(...) bringen? Bin aber nicht wirklich weiter gekommen.

Vielen Dank, LG

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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ermanus

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22:02 Uhr, 15.11.2018

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Hallo,
wegen der Entwicklung von -1z-1 um -i herum:
11-z=1(1+i)-(z-(-i))=11+i11-(z+i1+i)=
=11+in=0(z-(-i)1+i)n. Diese geometrische Reihe
konvergiert absolut genau dann, wenn z-(-i)<1+i=2 ist.
Wenn man sich eine Skizze macht, sieht man, dass der Konvergenzkreis um -i
herum sozusagen im Abstand 2 gegen die Polstelle z=1 stößt.
Gruß ermanus
capstrovor

capstrovor aktiv_icon

22:11 Uhr, 15.11.2018

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Ok, aber ist das ein Problem für die Entwicklung der Laurent Reihe?
Weil die Funktion sollte doch in der punktierten Umgebung um z=1 holomorph sein (EDIT: also in einer punktierten Umgebung um z=1 so dass z=2 nicht in der Umgebung ist), oder verwechsle ich da etwas?

Und zur Entwicklung von 1z-2, gehe ich da einfach gleich vor?
Also den Bruch so lange umformen, bis ich auf eine Reihe der Form
n=-an(z+i)n
komme?

Danke für dir Hilfe!
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anonymous

anonymous

22:13 Uhr, 15.11.2018

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...
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ermanus

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22:19 Uhr, 15.11.2018

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Der "Negativteil der Laurentreihe" taucht doch nur auf, wenn ich um einen
Pol herum entwickele, in unserem Falle um z=1 oder z=2.
Ist die Funktion hingegen holomorph in den Entwicklungspunkten, entsteht
eine ganz normale Potenzreihe, die mit n=0 anfängt.
Der Konvergenzbereich ist dann ein Vollkreis ohne Punktierung.
Hättest du um z=1 herum entwickelt, dann bekämst du etwas Punktiertes.
Mit 1z-2 verfährst du genauso und führst dann die beiden Reihen
zusammen, der Konvergenzradius ist dann natürlich der kleinere der
beiden Reihen: 2,5, also 2.
capstrovor

capstrovor aktiv_icon

22:36 Uhr, 15.11.2018

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Ach ja stimmt, das macht ja auch Sinn.
Ich war nur kurz verwirrt weil du gesagt hast dass am Rand des Konvergenzbereichs ein Pol liegt.

Ich bekomm für den ersten Term:

n=0-(12+i)n+1(z+i)n

Also dann für f die zusammengeschriebene Reihe:

f(z)=n=0((11+i)n+1-(12+i)n+1)(z+i)n ?
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ermanus

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22:48 Uhr, 15.11.2018

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Leider kann ich das nicht mehr nachrechnen ...
Gehe nun offline :(
Gruß ermanus
Frage beantwortet
capstrovor

capstrovor aktiv_icon

22:51 Uhr, 15.11.2018

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Ist kein Problem. Hast mir schon viel weiter geholfen, danke!