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Hallo, ich muss folgende Aufgabe bearbeiten:
Bestimmen Sie die Laurentreihenentwicklung um 0 und um -i in allen maximalen Konvergenzkreisringen.
Für die Entwicklung um 0 habe ich f mittels Partialbruchzerlegung in
umgeschrieben und dann umgeformt, um auf eine Potenzreihe zu kommen:
Der maximale Konvergenzkreisring wäre dann die Punktierte Umgebung um 0 mit Radius 1, oder?
Aber wie gehe ich bei der Entwicklung um -i vor? Muss ich zuerst den Nenner irgendwie auf die Form (z+i)*(...) bringen? Bin aber nicht wirklich weiter gekommen.
Vielen Dank, LG
Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Hallo, wegen der Entwicklung von um herum:
. Diese geometrische Reihe konvergiert absolut genau dann, wenn ist. Wenn man sich eine Skizze macht, sieht man, dass der Konvergenzkreis um herum sozusagen im Abstand gegen die Polstelle stößt. Gruß ermanus
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Ok, aber ist das ein Problem für die Entwicklung der Laurent Reihe? Weil die Funktion sollte doch in der punktierten Umgebung um z=1 holomorph sein (EDIT: also in einer punktierten Umgebung um z=1 so dass z=2 nicht in der Umgebung ist), oder verwechsle ich da etwas?
Und zur Entwicklung von , gehe ich da einfach gleich vor? Also den Bruch so lange umformen, bis ich auf eine Reihe der Form
komme?
Danke für dir Hilfe!
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anonymous
22:13 Uhr, 15.11.2018
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Der "Negativteil der Laurentreihe" taucht doch nur auf, wenn ich um einen Pol herum entwickele, in unserem Falle um oder . Ist die Funktion hingegen holomorph in den Entwicklungspunkten, entsteht eine ganz normale Potenzreihe, die mit anfängt. Der Konvergenzbereich ist dann ein Vollkreis ohne Punktierung. Hättest du um herum entwickelt, dann bekämst du etwas Punktiertes. Mit verfährst du genauso und führst dann die beiden Reihen zusammen, der Konvergenzradius ist dann natürlich der kleinere der beiden Reihen: , also .
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Ach ja stimmt, das macht ja auch Sinn. Ich war nur kurz verwirrt weil du gesagt hast dass am Rand des Konvergenzbereichs ein Pol liegt.
Ich bekomm für den ersten Term:
Also dann für f die zusammengeschriebene Reihe:
?
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Leider kann ich das nicht mehr nachrechnen ... Gehe nun offline :( Gruß ermanus
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Ist kein Problem. Hast mir schon viel weiter geholfen, danke!
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