Mathematik online lernen im Mathe-Forum. Nachhilfe online

Startseite » Forum » Laurentreihe für f(z)= (2z+2)/(z^2+1) bestimmen

Laurentreihe für f(z)= (2z+2)/(z^2+1) bestimmen

Universität / Fachhochschule

Komplexe Analysis

Tags: Komplexe Analysis

Schurli aktiv_icon

09:53 Uhr, 21.02.2017

"Finde die Laurentreihe für

f (z) = \frac{2 z + 2}{z^{2} + 1}

in der punktierten Kreisscheibe um

{0 < ∣ z - i ∣ < 2} . "

Mit den Ableitungen hab ich es versucht... bis man darin ein Muster entdeckt, wird man alt!

Mein neuer Ansatz war eine Zerlegung in Teilbrüche:

\frac{2 z + 2}{z^{2} + 1} = \frac{2 z + 2}{(z - i) (z + i)} = \frac{A}{z - i} + \frac{B}{z + i}

(denn diese sind ja leicht modifizierte geometrische Reihen). Das Problem dabei ist, dass der 2er von

2 z + 2

vernachlässigt wird, weil beim Ausmultiplizieren kein konstanter Wert entsteht...
Es kann aber sein, dass das Zählerpolynom auch anders geschrieben werden könnte. Nur bräuchte wahrscheinlich viel zu lange bis ich da alle Möglichkeiten durchprobiert habe.

Gibt es da quasi eine Möglichkeit das ganze von der Vogelperspektive zu sehen (z.B. abstrakte Algebra?) um zu entscheiden wie sich das in Teilbrüche zerlegen lässt?

Bin für Hilfe sehr dankbar! :-)

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

abakus

13:00 Uhr, 21.02.2017

"dass der 2er von 2z+2 vernachlässigt wird, weil beim Ausmultiplizieren kein konstanter
Wert entsteht..."

Du redest wirr.
Zieh die Partialbruchzerlegung durch und schreibe die beiden Gleichungen auf, die den Zusammenhang zwischen A und B beschreiben.

Schurli aktiv_icon

14:26 Uhr, 21.02.2017

Lieber Gast,

sry, dass ich widersprechen muss... aber das

A

und das

B

im Zähler sind offenbar nicht genug. Es muss beim Ausmultiplizieren ein von den variablen unabhängiger Term übrig bleiben. Nur fällt mir nicht ein wie. Mein Ansatz da oben ist jedenfalls leider nicht hinreichend um die charakteristischen Gleichungen erschließen zu können und ich frage dich hier um eine Idee wie ich die passenden Zählerpolynome finden kann.

pwmeyer aktiv_icon

14:30 Uhr, 21.02.2017

Hallo,

dann bring doch mal Deinen Ansatz auf den gemeinsamen Nenner und sortiere den Zähler nach

z^{1}

und

z^{0}

und dann schauen wir mal weiter.

Gruß pwm

Schurli aktiv_icon

17:21 Uhr, 21.02.2017

Liebe Mathematiker!

Es stimmt schon, dass ich mir momentant jetzt nicht ultraleicht tu mit diesem Teilgebiet... das soll aber bitte nicht heißen, dass ich auch bei dreifachen Hinsehen noch Unsinn bringe...

\frac{A}{z - i} + \frac{B}{z + i} = \frac{A (z + i) + B (z - i)}{(z - i) (z + i)} = \frac{(A + B) z + (A - B) i}{(z - i) (z + i)}

Rein theoretisch würden die Gleichungen nun so lauten:
I A+ B = 2
II (A - B)i = 2
_____________________

Und wie soll das bitte lösbar sein? Es ist wie ich sagte: Es muss etwas in UNabhängigkeit von den Z-Variablen und dem i im Zähler vorkommen. Sonst hat der 2-er im Zähler keine Entsprechung beim unbestimmten Ansatz!

abakus

17:28 Uhr, 21.02.2017

"Und wie soll das bitte lösbar sein?"

Es ist ein Gleichungssystem mit zwei Gleichungen und zwei Variablen!

Und da wir hier mit komplexen Zahlen hantieren, könnten A und/oder B auch komplex sein.
Die zweite Gleichung könnte man durchaus durch i teilen, man erhält
A+B=2 und A-B=2/i. Das kannst du mit dem Additionsverfahren lösen.
(Genausogut hättest du die erste Gleichung in B=2-A umformen können und in die zweite einsetzen.)
Und jetzt hau rein....

Schurli aktiv_icon

18:25 Uhr, 21.02.2017

Okay, war offenbar doch mein Fehler. Habe allerdings noch nie mit einem derartig schrägen LGS zu tun gehabt ;]

Es resultiert

A = 1 + i

und

B = 1 - i

. Eingesetzt ergibt dass dann folgende Summe von Reihen:

\sum_{k = 0}^{\infty} (\frac{i^{k}}{z^{k + 1}} + \frac{i^{k + 1}}{z^{k + 1}} + \frac{i^{k}}{z^{k + 1}} - \frac{i^{k + 1}}{z^{k + 1}}) .

Das jetzt noch vermöge den Werten von

i^{k}

in Real und Imaginärteile aufzuspalten dürfte ein wenig mühsam werden. Siehst du eine Abkürzung?

Problem: Die resultierende Reihe lautet:

2 \sum_{k = 0}^{\infty} \frac{i^{k}}{z^{k + 1}} .

Auch ohne Aufspaltung in Real - und Imaginärteile sieht man die geometrische Reihe, die wohl nur für

∣ Z ∣ < 1

konvergiert. Wie passt dies aber zur Aufgabenstellung

0 < ∣ z - i ∣ < 2

abakus

18:47 Uhr, 21.02.2017

"...dürfte ein wenig mühsam werden. "
Wieso? Die Potenzen von i haben nur 4 verschiedene Werte, die sowohl bei den reellen als auch bei den imaginären Werten permanent "leibnizen".

PS: Schau dir deine Reihe nochmal an. Wieso stehen die Potenzen von z alle im Nenner?
Wahrscheinlich hast du dich beim Umwandeln in geometrische Reihen vertan.

Schurli aktiv_icon

19:23 Uhr, 21.02.2017

"Wieso stehen die Potenzen von z alle im Nenner"
Weil ich die

1 / z

s hinein multipliziert habe in die Reihen.

Ich habe:

\frac{2 z + 2}{z^{2} + 1} = \frac{1 + i}{z - i} + \frac{1 - i}{z + i} = \frac{\frac{1 + i}{z}}{1 - \frac{i}{z}} + \frac{\frac{1 - i}{z}}{1 - \frac{- i}{z}} .

Wie man also sieht, lässt sich nach den Bruchrechenregeln der Zähler nach außen heben und so ist das

z

stets im Nenner...

pwmeyer aktiv_icon

20:41 Uhr, 21.02.2017

Hallo,

nach Aufgabenstellung musst Du die Reihen nach Potenzen von

(z - i)

entwickeln. Dazu schreibt man eben

\frac{1}{z + i} = \frac{1}{z - i + 2 \cdot i} = \frac{1}{2 \cdot i} \cdot \frac{1}{1 + \frac{z - i}{2 \cdot i}}

Gruß pwm

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

1357369

1357225

	Status: nicht eingeloggt	Noch nicht registriert?