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Laurentreihen Funktionen mit Partialbruchzerlegung

Universität / Fachhochschule

Tags: Laurentreihe, Partialbruchzerlegung

 
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cody800

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14:43 Uhr, 16.01.2021

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Guten Tag, ich muss die Funktion f(z)=z(z-1)(z-2) in Laurentreihen ermitteln, die jeweils in den folgenden Kreisringen konvergieren:
(a) |z|<1,
(b) 1<|z|<2,
(c) |z|>2,
(d) |z-1|>1.

Mein Ansatz wäre hier Partialbruchzerlegung anzuwenden. Hat jemand eine Idee, wie man das hiermit durchführt?


Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)
Online-Nachhilfe in Mathematik
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pwmeyer

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18:47 Uhr, 16.01.2021

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Hallo,

was genau ist Deiner Frage: Kannst Du die Partialbruchzerlegung nicht durchführen oder weißt Du dann nicht weiter?

Gruß pwm
cody800

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01:21 Uhr, 17.01.2021

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Ich weiß leider nicht weiter, wie ich das damit anwende
Antwort
pwmeyer

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11:04 Uhr, 17.01.2021

Antworten
Hallo,

Deine Antwort ist für mich unklar. Naja, jedenfalls ist

z(z-1)(z-2)=-1z-1+2z-2

Im weiteren Muss man die Formel für die geometrische Reihe auf die einzelnen Brüche verwenden, dazu muss diese je nach vorgegebenem Bereich für z umformen, dass eine Term der Form 11-q entsteht.

Zum Beispiel:

1z-2=(-12)11-z2
Den zweiten Faktor kann man mit q=z2 in eine Reihe umformen, und zwar für |z2|<1.

Wäre jetzt der relevante Bereich |z|>2, dann formt man um:
1z-2=1z11-2z
und verwendet wieder die geometrische Reihe mit q=2z.

So muss man sich die Reihenentwicklungen für die einzelnen Fälle zusammensuchen.

Bei der letzten Aufgabe muss man dann nciht in Potenzen von z entwickeln sondern von (z-1).

Gruß pwm


Frage beantwortet
cody800

cody800 aktiv_icon

18:46 Uhr, 18.01.2021

Antworten
Danke für den Tipp, ich werde das ab da weiter ausführen!