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Lebesgue-Integral eines Tetraeders

Universität / Fachhochschule

Integration

Tags: Integration, Lebesgue, Lebesgue-Maß, Maßtheorie, tetraeder

 
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alxms

alxms aktiv_icon

00:09 Uhr, 22.01.2021

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Wir haben die Menge meinem bescheidenen Verständnis nach also einen Einheitstetraeder, und wollen das Integral folgender Funktion über diesem berechnen:



Habe leider nicht wirklich einen Ansatz - weder geometrisch, noch analytisch. Der Ausdruck schreit natürlich danach, Kugelkoordinaten anzuwenden, dann hätte ich, soweit ich das verstehe:



Das innere Integral kann man kaum sinnvoll Riemann-integrieren, also muss man, falls das überhaupt der richtige Weg ist, das wohl irgendwie sinnvoll aufteilen und Fubini anwenden. Da bin ich mit meinem Latein aber wirklich am Ende, sehe keinen Anhaltspunkt.

Würde mich also sehr freuen, wenn mir da jemand auf die Sprünge helfen könnte.

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."
Online-Nachhilfe in Mathematik
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DrBoogie

DrBoogie aktiv_icon

06:12 Uhr, 22.01.2021

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"Der Ausdruck schreit natürlich danach, Kugelkoordinaten anzuwenden"

Nein, überhaupt nicht. Es ist eindeutig einfacher die kartesischen zu nutzen.

Du hast


usw.
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HAL9000

HAL9000

09:22 Uhr, 22.01.2021

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Man könnte natürlich auch eine andere Transformation durchführen, da würde sich hier



viel eher anbieten als (die wenig Aussicht versprechenden) Kugelkoordinaten; mit Umkehrfunktion ist dann

.

Zudem ist das Integrationsgebiet in der transformierten Variable, und wir bekommen mit Jacobi-Matrix



dann das Integral

.

EDIT: Sorry, hatte seltsamerweise erst den falschen Integranden genommen.
alxms

alxms aktiv_icon

13:09 Uhr, 22.01.2021

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Vielen Dank euch beiden!

Mit der Transformationsformel hab ich bislang fast gar nicht gearbeitet - wir haben viel Theorie und sehr wenig Praxis - darum ist das bei mir noch nicht so intuitiv.

Hätte insbesondere zu deiner Lösung @HAL9000 noch zwei Fragen.
Wie ich das verstehe, hast du die Umkehrfunktion so gewählt, dass von dieser uns im Nenner dann nur noch eine Variable statt drei gibt und wir das einfach Riemann-integrieren können, richtig?
Und wie kommen in der Schlusszeile die drei Integrale mit ihren Grenzen zustande? Ich kenne die Definition nur als einzelnes Integral auf dem Definitionsbereich der Funktion.
Antwort
HAL9000

HAL9000

14:40 Uhr, 22.01.2021

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> Wie ich das verstehe, hast du die Umkehrfunktion so gewählt,

Nein, ich hab die Transformationsfunktion so gewählt! Steht die einmal fest, gibt es bei der Umkehrfunktion nichts mehr zu wählen.

> Und wie kommen in der Schlusszeile die drei Integrale mit ihren Grenzen zustande?

Falscher Zeitpunkt für die Frage: Wenn du vorher verstanden hast, wieso das transformierte Integrationsgebiet so aussieht, wie ich es angegeben habe, dann sollte hinsichtlich der Integrationsgrenzen alles klar sein.

--------------------------------------------------------------------------------------------

Wenn ich mir deine Integralformel in Kugelkoordinaten von oben so ansehe, dann hast du womöglich tatsächlich den Transformationssatz nicht wirklich verstanden:

Du schreibst da einfach "" an das -Integral, was völliger Unsinn ist, ebenso wie die Winkelbereiche die dort an den anderen beiden Integralen stehen:

Das Tetraeder liegt komplett im ersten Oktanten (alle Koordinaten positiv), dem sind per Kugelkoordinatentransformation





die Winkelbereiche sowie auch nur zugeordnet.

Und bei FESTEN aus diesen Intervallen bedeutet Bedingung dann schließlich



umgestellt lautet das -Integral (als innerstes Integral zu schreiben!!!) dann nämlich

.
alxms

alxms aktiv_icon

15:36 Uhr, 22.01.2021

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Dass man die Transformationsfunktion wählt, ist mir schon klar, aber wichtig für die Formel ist ja die Umkehrfunktion, und anhand dessen, was man da haben möchte, wählt man ja oder stehe ich damit völlig auf dem Schlauch?

Mit dem Integrationsbereich ist das tatsächlich klarer geworden, habe da den Zusammenhang nicht gesehen, damit ist die Aufgabe für mich verständlich geworden, vielen Dank dir. Über die Kugeltransformation mache ich mir dann nochmal Gedanken. Wie gesagt - mir fehlt die Praxis.
Antwort
HAL9000

HAL9000

15:45 Uhr, 22.01.2021

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Ja so passt es ja jetzt auch.