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Lebesgue-Integrale berechnen

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

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17:32 Uhr, 02.12.2020

Hallo liebes Onlinemathe-Forum,

habe unter anderem die folgenden vier Lebesgue-Integrale bekommen, welche ich berechnen soll. Da ich bisher immer nur Riemann-Integrale berechnet habe und mir das ganze Thema rund um Lebesgueintegrale noch sehr schleierhaft ist (auch weil wir in der dazugehörigen Vorlesung nicht ein Beispiel gezeigt bekommen haben), weiß ich nicht so recht wie ich vorgehen soll. Ist es möglich einfach das entsprechende Riemann-Integral zu berechnen und dann zu folgern, dass das ganze auch Lebesgue-integrierbar ist? Und wie zeigt man dies dann konkret? Ich wäre über sehr dankbar dafür wenn mir dies jemand beispielhaft an 1 oder 2 der untenstehenden Teilaufgaben erklären könnte, so dass ich den Rest selbst berechnen kann wenn alles gut geht :-)

Es sei m ∈ N,

B_{m}

die Borel σ-Algebra über

R^{m}

und

λ_{m}

das Lebesgue-Maß. Berechnen Sie die folgenden Integrale:
i)

\int

λ_{m}

, für f :=

π

[a, b]^{m}

, a, b ∈ R mit a ≤ b.
ii)

\int

λ_{1}

für f := √42

χ_{A}

und A :=

\cup_{j = 0}^{\infty}

* e^{j}

, j

* e^{j}

(2 j)^{4}

]
iii)

\int

λ_{2}

, für f :=3

χ_{[- 2, 2]^{2}}

− 4

χ_{[0, 2) \times (- 8, 0)}

.
iv)

\int

λ_{1}

, für f(x) :=

⌈ x ⌉

χ_{A}

(x), (x ∈ R) mit A :=

\cup_{j = 0}^{\infty}

[j, j+

2^{- j}

]. Dabei sei

⌈ x ⌉

:= min{k ∈ Z | k ≥ x}.

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17:39 Uhr, 02.12.2020

"Ist es möglich einfach das entsprechende Riemann-Integral zu berechnen und dann zu folgern, dass das ganze auch Lebesgue-integrierbar ist? "

Wenn das Integrationsintervall endlich ist und die Funktion Riemann-integrierbar, dann ist ihr Lebesgue-Integral gleich ihr Riemann-Integrall.
Bei einem unendlichen Intervall kann es passieren, dass Riemann-Integral existiert, aber Lebesgue nicht (denn Lebesgue-integrierbar ist Funktion nur dann, wenn ihr Betrag integrierbar ist). Wenn beide existieren, sind sie wiederum gleich.

Kurz gesagt, mehr als Riemann-Integrale brauchst du normalerweise nicht.

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17:41 Uhr, 02.12.2020

Übrigens, der Unterschied zwischen Riemann und Lebesgue ist sehr schön auf dem Bild in Wiki gezeigt:
de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Integral

Riemann teilt den Definitionsbereich in immer kleinere Stücke, Lebesgue den Wertebereich.
Aber aus praktischer Sicht ist der Unterschied nicht sehr groß. Zwar kann man nach Lebesgue deutlich mehr Funktionen integrieren, aber alle "anständigen" Funktionen sind schon nach Riemann integrierbar.

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17:56 Uhr, 02.12.2020

Ok, danke für deine Antwort. So etwas in die Art habe ich mir schon gedacht, obwohl ich doch etwas überrascht bin, dass dann nur so ein geringer Unterschied zwischen den Integralen liegt.

Also könnte man bei i) dann einfach rechnen?:

\int π d

λ_{m}

{[π]}_{a}^{b}

(oder ist die Schreibweise dann eine andere wie beim Riemann-Integral?)

Und bei den anderen Teilaufgaben tue ich mich mit der Schreibweise des Indikators doch sehr schwer, da man in ii) bspw. über die Vereinigung eines Intervalls A integriert und in iii) über die Verknüpfung verschiedener Intervalle...
Wie behandelt man das ganze in solchen Fällen und helfen einem dabei evtl Sätze wie bspw. Beppo-Levi oder Fatou?

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18:15 Uhr, 02.12.2020

"Ok, danke für deine Antwort. So etwas in die Art habe ich mir schon gedacht, obwohl ich doch etwas überrascht bin, dass dann nur so ein geringer Unterschied zwischen den Integralen liegt."

Wie gesagt, der Unterschied ist nur aus praktischer Sicht nicht besonders groß. Aus theoretischer Sicht schon. Und der Überganz ist auch fließend, denn du sprichst weiter von Beppo Levi (ohne Bindestrich, das ist Vorname und Name einer Person) oder Fatou - diese Sätze basieren auf der Konstruktion der Lebesgue-Integrale.

Kannst auch gerne ein paar Worte über die Bedeutung von Lebesgue-Integral hier nachlesen, Seite 7:
page.math.tu-berlin.de~ferus/ANA/Ana3.pdf

"Also könnte man bei i) dann einfach rechnen?:
∫πd λm = [π]ab (oder ist die Schreibweise dann eine andere wie beim Riemann-Integral?)"

Es geht hier ums

m

-dimensionale Integral, also ist es

\int π d λ_{m} = π \int_{a}^{b} \int_{a}^{b} . . . \int_{a}^{b} d x_{1} . . . d x_{m} = π (b - a)^{m}

"Und bei den anderen Teilaufgaben tue ich mich mit der Schreibweise des Indikators doch sehr schwer, da man in ii) bspw. über die Vereinigung eines Intervalls A integriert"

Es wäre

\int \sqrt 42 χ A = \sqrt{42} \sum_{j} \int_{j * e^{j}}^{j * e^{j} + (2 j)^{4}} d x = \sqrt{42} \sum_{j} (2 j)^{4}

, wenn alle Intervalle disjunkt wären. Sie sind blöderweise nicht ganz disjunkt, denn für

j = 1

haben wir

[e, e + 16]

und für

j = 2

ist es

[2 e^{2}, 2 e^{2} + 4^{4}]

und sie überscheiden sich. Auch für

j = 2

und

j = 3

überschneiden sie sich. Irgendwann werden sie aber überscheidungsfrei. Also muss man die Berechnung entsprechend anpassen. Das finde ich eigentlich recht blöd, verstehe nicht, wozu man solche Aufgabe stellt.

"Wie behandelt man das ganze in solchen Fällen und helfen einem dabei evtl Sätze wie bspw. Beppo-Levi oder Fatou?"

In schwierigen Fällen können sie schon helfen. Aber du hast einfache Fälle.

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18:18 Uhr, 02.12.2020

"in iii) über die Verknüpfung verschiedener Intervalle"

Das ist keine Verknüpfung. Du hast da Different von 2 Funktion, also etwas wie

f - g

. Dann gilt natürlich

\int (f - g) = \int f - \int g

.
Und für

A = [0, 2) \times (- 8, 0)

gilt

\int_{A} d λ_{2} = \int_{0}^{2} \int_{- 8}^{0} d x_{1} d x_{2} = 16

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08:30 Uhr, 03.12.2020

Guten Morgen,

zu ii)
Kann man hier dann nicht einfach sagen, dass man die Summe des Integrals vom Schnitt dieser Intervalle wieder abzieht? Dann müssten doch die Überschneidungen rausfallen.
Ich hatte mich übrigens beim Notieren der Aufgabe vertan, dass j geht nur bis j=3 nicht bis

j = \infty

, also hält sich selbst beim Rausrechnen der Überschneidungen der Aufwand in Grenzen

zu iii)
Richtig, mit der Verknüpfung meinte ich auch hier die Intervalle, nicht die Funktionen selbst, da sind mir die Rechenregeln vom Riemann-Integral klar.
Also gilt dort dann:

\int

χ_{[- 2, 2]}^{2}

− 4

χ_{[0, 2) \times (- 8, 0)}

d x_{1} x_{2}

\int_{- 2}^{2}

\int_{- 2}^{2}

d x_{1} x_{2}

\int_{0}^{2}

\int_{- 8}^{0}

d x_{1} x_{2}

= 4*4*3 - 4*2*8 = -16 ?

zu iv)
hier kann man das ganze dann ja doch recht ähnlich machen, wobei

\int

⌈x⌉ ·

χ_{A}

(x)d

λ_{1}

= ⌈x⌉

\sum_{j}^{\infty}

\int_{j}^{j + 2^{- j}}

dx, wobei es hier aber glücklicherweise keine Überschneidungen im Intervall gibt.
Aber was fange ich hier mit ⌈x⌉ := min{k ∈ Z | k ≥ x} an?

Entschuldige für die vielen Nachfragen, aber ich tue mich mit der Notation und den ganzen unterschiedlichen Indikatoren doch recht schwer und brauche meist länger, um zu verstehen wie das ganze wirklich gemeint ist.
Bin dir übrigens wirklich sehr dankbar, dass du dir solch eine Mühe gibst :-)

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09:02 Uhr, 03.12.2020

"Kann man hier dann nicht einfach sagen, dass man die Summe des Integrals vom Schnitt dieser Intervalle wieder abzieht?"

Das verstehe ich nicht wirklich.
Aber wenn

j

nur bis

3

geht, dann überlappen sind die Intervalle, also wird

A

einfach zu

[e, 3 e^{3} + 6^{4}]

und über dieses Intervall muss man die Konstante

\sqrt{42}

integrieren.

"zu iii)
Richtig, mit der Verknüpfung meinte ich auch hier die Intervalle, nicht die Funktionen selbst, da sind mir die Rechenregeln vom Riemann-Integral klar.
Also gilt dort dann: ∫ 3 χ[−2,2]2 − 4χ[0,2)×(−8,0) dx1x2 = ∫−22 ∫−22 3 dx1x2 - ∫02 ∫−80 4 dx1x2 = 4*4*3 - 4*2*8 = -16 ?"

Richtig.

"zu iv)
hier kann man das ganze dann ja doch recht ähnlich machen, wobei ∫ ⌈x⌉ · χA(x)dλ1 = ⌈x⌉ ∑j∞ ∫jj+2−j dx, wobei es hier aber glücklicherweise keine Überschneidungen im Intervall gibt.
Aber was fange ich hier mit ⌈x⌉ := min{k ∈ Z | k ≥ x} an?"

Wenn

x \in [j, j + 2^{- j}]

, dann

⌈ x ⌉ = j + 1

. Also kann deine Funktion als

\sum_{j} (j + 1) χ_{[j, j + 2^{- j}]}

geschrieben werden. Und das Integral wird zu

\sum_{j} (j + 1) \int_{j}^{j + 2^{- j}} d x = \sum_{j} (j + 1) 2^{- j}

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09:59 Uhr, 03.12.2020

ii) Stimmt, an die Möglichkeit durch die Überlappung an ein Intervall zu denken hatte ich gar nicht. Mir ging es dabei eher darum über die drei Intervalle zu integrieren, wobei ich durch den Schnitt die jeweilige Überlappung der Intervalle wieder heraussubtrahieren wollte..

iii) fettisch

iv) Die Herangehensweise hier ist mir nun auch klar geworden, wobei ich mich aber noch frage, wie du auf

⌈ x ⌉

=j+1 kommst.

⌈ x ⌉

ist ja das Minimum, sodass k ≥ x für ein k aus den ganzen Zahlen. Hierbei könnte dann aber doch auch

⌈ x ⌉

=j für k=x gelten, oder nicht?

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10:01 Uhr, 03.12.2020

Das ist eine Aufrundungsfunktion. Zwar steht dort Minimum, aber Minimum über größere ganze Zahlen. Damit bekommt man z.B. für 1.5 das Ergebnis 2.

de.m.wikipedia.org/wiki/Abrundungsfunktion_und_Aufrundungsfunktion

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10:04 Uhr, 03.12.2020

Aber in der Menge steht doch, dass k nur größer gleich x sein muss, wobei doch auch Gleichheit gelten kann, oder nicht? Dann braucht man in diesem Fall auch nicht aufzurunden?

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10:06 Uhr, 03.12.2020

Wie kann es denn gleich sein, wenn

x

nicht ganz ist?
Kuck bitte meinen Link und dort Beispiele.

j + 2^{- j}

ist keine ganze Zahl für

j > 0

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10:10 Uhr, 03.12.2020

Ja, den habe ich geschaut und die obere Gaußklammer kenne ich eigentlich auch. Theoretisch könnte x ja auch ganz sein, dann müsste man nicht runden. Aber dann muss ich mich damit wohl abfinden :-)

Vielen Dank dir

HAL9000

10:26 Uhr, 03.12.2020

iv) Man kann diese Integrandenfunktion

f

ja einfach auch mal fallweise aufschreiben und dabei die Gaußklammer eliminieren:

Für

x < 0

ist

f (x) = 0

.

Für jedes

x \geq 0

findet man genau ein ganzzahliges

j \geq 0

mit

j \leq x < j + 1

. Für jedes dieser

j

gibt es nun hinsichtlich des Funktionswertes drei Unterfälle:

a)

x = j

: Hier ist

f (x) = ⌈ x ⌉ = j

j < x \leq j + 2^{- j}

: Hier ist

f (x) = ⌈ x ⌉ = j + 1

(im Fall

j = 0

gehört diese obere Intervallgrenze

j + 2^{- j} = 0 + 1 = 1

übrigens NICHT zu diesem Fall, denn die ebenfalls bestehende Forderung

0 \leq x < 1

verhindert das.)

c)

j + 2^{- j} < x < j + 1

: Hier ist

f (x) = 0

. (für

j = 0

ist dieser Fall leer, d.h. nicht existent)

An allen ganzzahligen Stellen

j \geq 2

findet somit ein "doppelter" Sprung statt: Von

f (j - 0) = 0

f (j) = j

und gleich darauf zu

f (j + 0) = j + 1

, d.h., die Funktion ist an diesen Stellen weder links- noch rechtsseitig stetig. Für den Lebesgue-Integralwert hat das Sprungverhalten an diesen Einzelstellen natürlich keinerlei Auswirkung.

Mathestud1 aktiv_icon

11:04 Uhr, 03.12.2020

Ok, danke dir für deinen Beitrag. War doch ganz schön verwirrt mit dem Minimum und dem Aufrunden trotz evtl. Gleichheit. Muss mir das ganze gleich nochmal anschauen und verarbeiten, aber denke dass es auch mir dann klar ist :-)

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11:04 Uhr, 03.12.2020

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11:05 Uhr, 03.12.2020

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