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Lebesgue-Maß auf Borel-Algebra
Universität / Fachhochschule
angewandte lineare Algebra
Tags: Angewandte Lineare Algebra
 
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Es sei das Lebesgue-Maß auf der Borel σ-Algebra uber i) Zeigen Sie, dass {x} ∈ fur alle x ∈ . Berechnen Sie anschließend ({x}). ii) Es sei A ∈ abzählbar. Zeigen Sie, dass A ∈ und berechnen Sie (A). iii) Warum ist das Ergebnis aus ii) kein Widerspruch zu ( iv) Es sei nun m = 1. Ist fur alle A ∈ mit A uberabzählbar (A) > 0 erfullt ? Hallo Forum, bei obiger Frage habe ich leider massiv Probleme bei der Lösung. Bedingt durch das aktuelle online-Semester muss ich die Aufgabe lösen, habe aber niemanden den ich ansonsten fragen könnte, deswegen hoffe ich, dass mir jemand weiterhelfen kann. i) hier sollen wir am besten über die Stetigkeit von Maßen zur Lösung kommen, wobei man diese ja definieren kann als µ()=sup µ()=lim µ() (n--> unendlich) für als Teilmenge von und µ()=inf µ()=lim µ() (n--> unendlich) für als Teilmenge von Wie kann man das dann konkret hier machen? Und ist dann ({x})= ( ({x}))? Hier hat man ja nur eine Einpunktmenge und kein richtiges Intervall, oder? ii)Muss man hier zunächst zeigen, dass A offen ist, da man eine Borelalgebra ja aus offenen Mengen bildet? Und wie macht man dann weiter, zeigt man die drei Bedingungen wie für eine Sigma-Algebra und wie berechnet man (A)? Oder kann man konkret zeigen, dass jede abzählbare Menge in einer Borelalgebra liegt? iii)Hier müsste ich erst eine Idee für die Beantwortung von ii) haben :-) iv) Hier müsste sich doch ein geeignetes Gegenbeispiel mit (A)=0 finden lassen, da ich nicht davon ausgehe, dass die Voraussetzung erfüllt ist, oder? |
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"i) hier sollen wir am besten über die Stetigkeit von Maßen zur Lösung kommen" Genau. Man nimmt z.B. eine Folge von m-dimensionalen Kugeln mit dem Radius und Zentrum , dann gilt und ist eine monotone Folge, daher . "ii)Muss man hier zunächst zeigen, dass A offen ist, da man eine Borelalgebra ja aus offenen Mengen bildet?" Das ist grundsätzlich falsch. Offene Mengen bilden die Borelalgebra nicht, sie erzeugen sie. Am Ende hat man in der Borelalgebra nicht nur alle offenen Mengen, sondern auch alle geschlossenen, alle Schnitte von offenen Mengen usw. Also ziemlich viele "unregelmäßige" Mengen. Aber ein Maß ist immer sigma-additiv, daher für eine abzählbare Menge gilt , denn nach i) hat jeder einzelne Punkt Maß 0. "iii)Hier müsste ich erst eine Idee für die Beantwortung von ii) haben :-)" Die Menge hier ist klar nicht abzählbar. "iv) Hier müsste sich doch ein geeignetes Gegenbeispiel mit λ1(A)=0 finden lassen, da ich nicht davon ausgehe, dass die Voraussetzung erfüllt ist, oder?" Richtig. Ein Gegenbeispiel findet man schon in Wiki: de.wikipedia.org/wiki/Cantor-Menge |
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Vielen Dank dir DrBoogie für deine superschnelle Hilfe!! Die i) habe ich somit verstanden Bei ii) ist es mir jetzt auch verständlich geworden, dass die dort angegebene Summe=0 sein muss, da ja jeder Punkt eines Maßes =0 ist und folglich dann auch die Summe =0 ist. Aber wieso ist A als abzählbare Menge nun in der Borelalgebra, muss man hier nicht noch bspw. die Axiome für eine Sigma-Algebra nachrechnen? iii) Hier verstehe ich deine Argumentation leider nicht richtig, welche Menge meinst du hier? iv) gucke ich mir später an :-) |
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"Aber wieso ist A als abzählbare Menge nun in der Borelalgebra, muss man hier nicht noch bspw. die Axiome für eine Sigma-Algebra nachrechnen?" Weil ein einzelner Punkt drin ist, denn er ist abgeschlossen. Daher auch eine abzählbare Vereinigung der Punkte, das ist eine der Basis-Eigenschaften einer sigma-Algebra "iii) Hier verstehe ich deine Argumentation leider nicht richtig, welche Menge meinst du hier?" Na |
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Vielen Dank, das Ganze ist mir jetzt viel verständlicher geworden! Nun versuche ich mich noch darin, das Ganze halbwegs ordentlich und formal zu formulieren und aufzuschreiben :-) |
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Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.
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