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Lebesgue-Messbarkeit zeigen

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Maßtheorie

Tags: Maßtheorie

Husteguzel aktiv_icon

17:54 Uhr, 05.05.2017

Hi,

folgende Aufgabe macht mir im Moment Probleme:

Zeigen Sie, dass

A \subset ℝ^{n}; L^{n}

-messbar ist falls gilt:

\forall ε > 0, \exists F \subset A \subset G, F

abgeschlossen und

G

offen:

L^{n} (G \ F) < ε

Meine Gedanken dazu:
Aus unserem Skript habe ich die Info, dass

L^{n}

ein Borelmaß ist, vielleicht hilft das noch.

Außerdem haben wir folgenden Satz behandelt:

Sei

A \subset ℝ^{n}

. Dann sind folgende Aussagen äquivalent:
(i)

A

ist

L^{n}

-messbar
(ii)

\exists ε > 0, \exists G \supset A

, G offen und

L^{n} (G \ A) < ε

Ich fand (ii) klingt ähnlich zur Voraussetzung der Aufgabenstellung, deshalb dachte ich der Satz ist vielleicht hilfreich.

Schaue ich hier in die richtige Richtung? Wenn ja, wie müsste ich nun vorgehen? Wenn nicht, wo sollte ich stattdessen ansetzen?

Grüße
Husteguzel

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

tobit aktiv_icon

18:41 Uhr, 05.05.2017

Hallo Husteguzel!

Vorweg eine Rückfrage: Was bedeutet bei euch die Bezeichnung

L^{n}

genau? Kannst du ihre Definition posten?

Ich gehe jetzt mal davon aus, dass

L^{n}

bei euch eine Abbildung

L^{n} : P (ℝ^{n}) \to [0, \infty]

ist, die in folgendem Sinne monoton ist:
Für alle

C, D \subseteq ℝ^{n}

mit

C \subseteq D

ist

L^{n} (C) \leq L^{n} (D)

.

Dann wäre

L^{n}

allerdings wohl kein Maß, insbesondere kein Borel-Maß (allerdings wäre wohl die Einschränkung von

L^{n}

auf die Lebesgue-messbaren Mengen ein Borel-Maß).
Die Frage, ob

L^{n}

ein (Borel-)Maß ist, ist aber bei Verwendung des von dir zitierten Satzes nicht weiter relevant.

Der von dir zitierte Satz nimmt uns in der Tat fast alle Arbeit ab.

In Bedingung (ii) soll es wohl

\forall ɛ > 0

statt

\exists ɛ > 0

heißen.

Sei nun

A \subseteq ℝ^{n}

und es gelte die Bedingung

(iii)∀ε>0,∃F⊂A⊂G,F abgeschlossen und G offen: Ln(G\F)<ε

aus der Aufgabenstellung.
Zeigen müssen wir, dass

A

der Bedingung der

L^{n}

-Messbarkeit genügt, also Bedingung (i) aus dem von dir zitierten Satz.

Nach diesem Satz genügt es dafür, Bedingung (ii) zu zeigen.

Sei dazu

ɛ > 0

beliebig vorgegeben.
Finden müssen wir nun ein G⊃A, G offen mit

L^{n}

(G\A)<ε.

Bringe dazu Bedingung (iii) ins Spiel!

Viele Grüße
Tobias

Husteguzel aktiv_icon

21:01 Uhr, 05.05.2017

Hi tobit,

tatsächlich finde ich gerade keine genaue Definition von

L^{n}

in meiner Mitschrift. Ich werde mal meine Kommilitonen fragen ob wir da echt nicht mehr hatten.

"In Bedingung (ii) soll es wohl

\forall ε > 0

statt

\exists ε > 0

heißen."
Stimmt, da habe ich mich vertippt.

Zu dem Satz der hier verwendet werden soll.

Eigentlich wäre es praktisch wenn F = A ist, denn dann wäre der Satz ja fast Identisch zur Aufgabenstellung. Das kommt mir aber ein wenig zu leicht vor.

Wenn F=A wäre dann müsste A auch abgeschlossen sein. Ich nehme an da liegt auch irgendwie der Haken? Wenn G offen ist hat G keinen Rand(Wenn ich mich da richtig erinnere) außerdem würde ich aus G eine abgeschlossene Menge entfernen, also auch den Rand der Menge mit rausnehmen. Das stelle ich mir gerade wie einen Randlosen Donut vor, wobei mir das glaube ich nicht weiter hilft.

tobit aktiv_icon

21:42 Uhr, 05.05.2017

Gibt es ein frei zugängliches Skript zu deiner Vorlesung im Internet?
Dann könnte ich mal darin nachsehen, ob ich die Definition von

L^{n}

finde.

Da unsere Menge

A

die Bedingung iii) erfüllt, existieren zu unserem

ɛ > 0

(also dem

ɛ

, dass ich in meiner vorherigen Antwort eingeführt habe) eine abgeschlossene Menge

F \subseteq ℝ^{n}

und eine offene Menge

G \subseteq ℝ^{n}

mit

F \subseteq A \subseteq G

und

L^{n} (G \ F) < ɛ

.

Erst nach dieser Einführung von Mengen F und G macht es Sinn, von F zu sprechen.

(Wir suchen ja eine offene Teilmenge

G^{ʹ} \subseteq ℝ^{n}

mit

L^{n} (G^{ʹ} \ A) < ɛ

. Ich schreibe hier bewusst

G^{ʹ}

statt

G

, um zwischen der gesuchten offenen Menge

G ʹ

und der gerade eingeführten offenen Menge

G

zu unterscheiden. Es ist nämlich keineswegs von vornherein klar, dass die gerade eingeführte Menge

G

wie gewünscht

L^{n} (G \ A) < ɛ

erfüllt und wir daher

G^{ʹ} := G

wählen können. Aber in unserem Fall wird tatsächlich

G^{ʹ} := G

das Gewünschte leisten.)

Könnten wir nun

F = A

irgendwie zeigen, würde in der Tat

L^{n} (G \ A) = L^{n} (G \ F) < ɛ

folgen und wir hätten eine offene Menge

G

mit der gesuchten Eigenschaft

L^{n} (G \ A) < ɛ

gefunden.

Dieser Weg führt leider nicht zum Erfolg, da im Allgemeinen gar nicht

F = A

gelten wird. Die Menge

A

wird im Allgemeinen auch gar keine abgeschlossene Teilmenge von

ℝ^{n}

sein.

Wir wissen zwar nicht

F = A

, aber wir wissen

F \subseteq A

und ich behaupte, dieses Wissen genügt, um ähnlich zu deiner Idee zu argumentieren.

Überlege zunächst:
Wie hängen

G \ F

und

G \ A

unter Berücksichtigung von

F \subseteq A

zusammen?

Husteguzel aktiv_icon

23:12 Uhr, 05.05.2017

Ein frei zugängliches Skript haben wir leider nicht, aber glücklicherweise wurde unser Skript heute Abend so weit aktualisiert, dass das Lebesgue-Maß enthalten ist. Ich lade es mal als Screenshot hoch. Mit der Definition kann ich allerdings erstmal wenig anfangen.

Das aus der Aufgabenstellung

F \subset ℝ^{n}

folgt kann ich sehen, aber das auch

G \subset ℝ^{n}

folgt erstmal nicht. Denn

A \subset G

kann doch auch bedeuten

A \subset ℝ^{n} \subset G

oder folgt

G \subset ℝ^{n}

eher aus der Art wie

L^{n}

definiert ist bzw. aus der Tatsache das es ja Lebesgue-messbar sein soll?

Bezüglich dem Zusammenhang von G\F und G\A:
Da

F \subset A

gilt, ist ja G\F eine Menge die immer noch Teile von A enthalten kann während G\A weder Teile von A noch F enthält.
Also müsste doch

(G \ A) \subset (G \ F)

gelten? Und wenn das gilt kann ich dann vielleicht sagen

L^{n} (G \ A) < L^{n} (G \ F)

und

L^{n} (G \ F)

ist ja schon durch die Aufgabenstellung

< ε

damit müsste auch

L^{n} (G \ A) < ε

sein.

EDIT: Wobei ich jetzt nicht gezeigt habe das G' = G ist was ich vielleicht noch machen sollte bzw. glaube ich, dass es zum Verständnis sehr gut wäre es noch zu tun.

tobit aktiv_icon

00:43 Uhr, 06.05.2017

Danke für den Screenshot.
Er bestätigt meine Vermutung, dass bei euch das Lebesgue-Maß (übrigens mit g geschrieben, nicht wie auf dem Screenshot mit q) anders als sonst üblich auf der ganzen Potenzmenge des

ℝ^{n}

definiert ist.
Das so definierte Lebesgue-Maß ist (trotz des Namens) kein Maß auf

ℝ^{n}

mit der ganzen Potenzmenge des

ℝ^{n}

als

σ

-Algebra.

"Das aus der Aufgabenstellung F⊂ℝn folgt kann ich sehen, aber das auch G⊂ℝn folgt erstmal nicht. Denn A⊂G kann doch auch bedeuten A⊂ℝn⊂G oder folgt G⊂ℝn eher aus der Art wie Ln definiert ist bzw. aus der Tatsache das es ja Lebesgue-messbar sein soll?"

Du hast insofern Recht, dass für eine beliebige Menge

G

mit

A \subseteq G

nicht notwendigerweise

G \subseteq ℝ^{n}

folgt.

In den Bedingungen ii) und iii) ist jedoch jeweils implizit

G \subseteq ℝ^{n}

gemeint.
Sonst würde es auch gar keinen Sinn ergeben,

G

als offen zu bezeichnen und

L^{n} (G \ A)

bzw.

L^{n} (G \ F)

zu bilden.

"Also müsste doch (G\A)⊂(G\F) gelten? "
Genau, sehr schön!

"Und wenn das gilt kann ich dann vielleicht sagen Ln(G\A)<Ln(G\F)"
Wenn du

<

durch

\leq

ersetzt, ist die Folgerung genau richtig.

"und Ln(G\F) ist ja schon durch die Aufgabenstellung <ε damit müsste auch Ln(G\A)<ε sein."
Ja,

L^{n} (G \ F) < ɛ

gilt nach Wahl von G und F und damit erhalten wir zusammengenommen

L^{n} (G \ A) \leq L^{n} (G \ F) < ɛ

.

Schön!

Wir haben also wie gewünscht eine offene Teilmenge

G \subseteq ℝ^{n}

mit

G \supseteq A

gefunden, die

L^{n} (G \ A) < ɛ

erfüllt, was unseren Beweis von Bedingung ii) und damit unseren Beweis insgesamt abschließt.

"Wobei ich jetzt nicht gezeigt habe das G' = G ist was ich vielleicht noch machen sollte bzw. glaube ich, dass es zum Verständnis sehr gut wäre es noch zu tun."

Okay. Dazu müssen wir natürlich erst einmal festlegen, was wir mit

G^{ʹ}

überhaupt für eine Menge bezeichnen wollen.

Wir suchen ja eine offene Teilmenge

G^{ʹ} \subseteq ℝ^{n}

mit

G^{ʹ} \supseteq A

, die

L^{n} (G^{ʹ} \ A) < ɛ

erfüllt.
Wir DEFINIEREN nun

G^{ʹ}

durch

G^{ʹ} := G

.
Dann ist

G^{ʹ}

wie gewünscht tatsächlich eine offene Teilmenge

G^{ʹ} \subseteq ℝ^{n}

mit

G^{ʹ} \supseteq A

, die

L^{n} (G^{ʹ} \ A) < ɛ

erfüllt.
Also haben wir tatsächlich ein

G^{ʹ}

der gesuchten Art gefunden.

Das habe ich jetzt so ausgeführt, weil du danach gefragt hast.
In der Praxis würde man dies natürlich nicht so formulieren.
Wir haben (mit

G

) eine offene Teilmenge des

ℝ^{n}

mit den gewünschten Eigenschaften gefunden.
Damit haben wir insbesondere wie gewünscht gezeigt, dass es eine solche offene Teilmenge gibt.
Ob wir den "Zeugen" der Existenz nun

G

G^{ʹ}

H

oder sonst wie nennen, ist natürlich eigentlich völlig egal; Hauptsache, wir haben einen Zeugen (in unserem Fall die Menge G).

Husteguzel aktiv_icon

17:24 Uhr, 06.05.2017

Sehr gut, erneut vielen Dank. Ich denke diese Aufgabe habe ich damit gut verstanden. Wenn man die Lösung kennt ist die Aufgabe nicht mal so schwer :-D)

Grüße
Husteguzel

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