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Lebesgue-Nullmenge, Bild
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Maßtheorie
 
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Sei , sei offen und sei stetig differenzierbar. Zeigen Sie, dass im Fall d=1 für jedes kompakte Intervall das Bild eine Lebesgue-Nullmenge ist. Hallo, ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe. Wir haben bereits gezeigt, dass eine Lebesgue-Nullmenge ist. Für diese Aufgabe habe ich zwei Ansätze. Mein erster wäre, dass ich etwa eine Funktion angebe, welche mir den Graph von auf eine Konstante abbildet. Damit wäre ich dann wieder in dem bereits gezeigten Fall. Leider weiß ich nicht, ob ich allgemein so eine Funktion angeben kann. Ich befürchte, dass f dazu bijektiv sein muss. Was hier anschaulich passiert ist ja im Grunde klar, ich nehme das Bild der Funktion auf dem kompakten Intervall . Da die Funktion stetig ist, wird Maximum und Minimum angenommen. Und nun "ziehe ich die Funktion lang". Ich könnte mir vorstellen, dass es etwas mit der Bogenlänge zutun hat, bzw. ich die Abbildung so angeben kann, wie man die Bogenlänge berechnen würde. Versteht ihr was ich meine? Lohnt es sich den Ansatz weiter zu verfolgen? Der zweite Ansatz wäre es den Graph eben mit Würfeln zu überdecken und dann zu zeigen, dass das Maß in der Summe Null ist. Leider weiß ich nicht wie ich die Würfel wählen kann, damit es klappt. Über Hilfe würde ich mich sehr freuen. Vielen Dank im voraus. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Sei . Teile in gleich lange Intervalle: . Dann gilt für alle aus : . Damit liegt der Graph von in der Vereinigung der Rechtecke . Diese haben eine beliebig kleine Gesamtfläche, wenn man groß genug wählt. |
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Vielen Dank für deine Rückmeldung. Kann man den Beweis so anpassen, dass man am Ende Würfel hat und keine Rechtecke? Die Seitenlängen also gleich sind. Wir haben bisher nämlich alles nur für Würfel gezeigt. |
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Du kannst jeden Rechteck durch Würfel "approximieren", mit beliebiger Genauigkeit. |
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Ja, ich habe mich auch gefragt als wir es für Würfel gezeigt haben, warum wir es dann nicht auch automatisch für Rechtecke gezeigt haben, weil ich nun mal ein Rechteck durch Würfel "ausschöpfen" kann. Deshalb habe ich etwas Bauchschmerzen dabei es nun doch mit Rechtecken zu tun... |
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"Deshalb habe ich etwas Bauchschmerzen dabei es nun doch mit Rechtecken zu tun." Und ich habe Bauchschmerzen, weil Du Bauchschmerzen hast. :-) Mathe ist kein "Dienst nach Vorschrift", und wenn ich höre "wir hatten das nur so gezeigt", kriege ich echt eine Krise. Mathe endet nicht dort, wo eine Vorlesung endet! Man darf mit Sicherheit alles nutzen, was man auch begründen kann, sonst ist es keine Mathe, sondern weiß ich nicht was. |
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Darum geht es mir auch gar nicht und ich teile deine Meinung. Nur müsste ich dann nun begründen, weshalb sich meine Rechtecke auch durch Quadrate überdecken lassen. Und da sagt mir meine weibliche Intuition (und die Tatsache, dass wir es in der Vorlesung bisher nicht gezeigt haben), dass das nicht so trivial ist wie ich denke. |
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Das ist absolut trivial. Sei ein Rechteck mit den Seiten und gegeben, wobei die Seite die "waagerechte" ist. Bilde ein quadratisches Gitter mit der Länge , ausgehend von der unteren Seite und von der linken Seite des Rechtecks. Dann hast Du höchstens Quadrate, die den Rechteck "überlappen", und zwar die obere Reihe. Also ist die Gesamtfläche der Würfel um höchstens größer als die Fläche des Rechtecks. Da Du beliebig machen kannst, kannst Du immer Rechtecke durch Quadrate mit beliebiger Genauigkeit überdecken. Unten das Bild (leider ziemlich krumm), die "überflüssige" Fläche ist rot. Quadratisches Gitter ist blau.  |
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Vielen Dank. |
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