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Lebesgue, Nullmengen
Universität / Fachhochschule
Integration
Tags: Integration
 
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Hallo! Ich habe ein kleines Verständnisproblem, undzwar geht es um die Bedeutung von Nullmengen beim Lebesgue Integral. Nullmengen sind diejenigen Mengen, auf denen die Folge von Treppenfunktionen in jedem Punkt (der Nullmengen) divergieren. Daher sagt man auch:" konvergent fast überall" (bis auf diese bestimmten Nullmengen). Welche Rolle spielen nun diese Nullmengen in der Lesbegueschen Integrationstheorie? Ich habe als Beispiel die Diriclet-Funktion, diese ist falls rational und 0 falls irrational ist. Im RIemmanschen Sinne ist diese Funktion nicht integrierbar. Aber sehr wohl im Lesbegueschen Sinne. Die Menge der rationalen Zahlen ist eine Nullmenge, das ist mir soweit auch klar. Aber wenn meine Folge von Treppenfunktionen mit denen ich die diriclet-Funktion approximieren möchte in jedem Punkt auf divergiert, wie kann diese Folge dann gegen die Grenzfunktion konvergieren?! Ich hoffe es kann mir jemand helfen! Mit freundlichen Grüßen Octaeder |
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"Nullmengen sind diejenigen Mengen, auf denen die Folge von Treppenfunktionen in jedem Punkt (der Nullmengen) divergieren." Das ist keine Definition. Definition ist hier zu finden: http//de.wikipedia.org/wiki/Lebesgue-Ma%C3%9F "Welche Rolle spielen nun diese Nullmengen in der Lesbegueschen Integrationstheorie?" So gut wie keine, denn ein Lebesgue-Integral (sowohl Existenz als der Wert) hängt nicht von diesen Mengen ab. Leider ist es nicht ganz trivial zu sehen, wenn man Lebesgue-Integrierbarkeit über Treppenfunktionen definiert, daher bevorzuge ich eine andere (äquivalente) Definition, welche über die Aufteilung des Wertebereiches geht. Leider scheint sie im deutschen Raum wenig populär zu sein. |
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Eine Menge heißt Nullmenge, wenn zu jedem abzählbar viele Intervalle I_2,... ist. Das ist die Definition die ich benutze. Ich weiß, dass z.B. eine Nullmenge ist. Auch alle endliche und abzählbaren Teilmengen von sind Nullmengen. Aber mir wird jetzt nicht bewusst, welche Rolle diese beim Lebesgue-Int. spielt. Hat es etwas mit der Konvergenz der Folge von Treppenfunktionen zu tun, mit der ich f approximiere? Weil im Falle eines endlichen Intervalls die gleichmäßige Konvergenz nicht gewährleistet ist? Mit freundlichen Grüßen Octaeder |
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Wenn du diese Definition einer Nullmenge verwendest wird vermutlich auch nicht bekannt sein was ein Maßraum ist. Außerdem werden Lebesgue-integrierbare Funktionen nicht durch Treppenfunktionen angenähert, sondern duch einfache Funktionen (siehe Wikipedia für Unterschied). Wie DrBoogie schon geschrieben hat, sind Nullmengen recht uninteressant, da sie keinen Einfluss auf den Wert des Integrals nehmen. Deswegen ist auch das Integral über die Dirichletsche Sprungfunktion da die rationalen Zahlen eine Nullmenge ist und die Funktion nur dort einen Wert ungleich 0 annimmt, nämlich 1. |
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Also im Lehrbuch der Analysis Teil 2 von Heuser wird das Lebesgueintegral mittels Treppenfunktionen konstruiert. Von Maßtheorie habe ich leider 0 Ahnung. Hatten auch keine Vorlesung dazu gehört. |
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Mit Treppenfunktionen wird allerdings das Riemannintegral definiert. Leider hab ich das Buch von Heuser nicht, vllt könntest du ja mal die Definition posten was bei Heuser eine Treppenfunktion ist oder hat sich deine Frage bereits geklärt? |
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Nein, also ich bin gerade am zweifeln. Beim Heuser sind Treppenfunktionen im üblichen Sinn gemeint (wie beim R-Integral). Wird beim Lebesgueintegral punktweise oder gleichmäßige Konvergenz der Treppenfunktionen vorausgesetzt? |
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Im allg. Kontext ist es so, dass man einen Maßraum und darauf eine messbare (vorerst nichtnegative) reellwertige Funktion hat. Dann kann man zeigen, dass eine Folge monoton wachsender einfacher Funktionen (keine Treppenfunktion, Treppenfunktionen sind hier nur ein Spezialfall), mit gibt, die punktweise gegen konvergieren. Man setzt das Integral von dann als . Das Integral dieser einfachen Funktionen ist dabei definiert als: wobei hier . Nach Definition einer einfachen Funktionen wird nur über endlich viele summiert (einfache Funktionen nehmen nach Def. nur endlich viele Werte an). Anschließend kann man das ganze noch auf nicht unbedingt nichtnegative reellwertige Funktionen verallgemeinern. |
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ok, vielen Dank für deine Antwort. Wenn man den Zugang über einfache Funktionen wählt, erscheint mir plausibler, wieso diese punktweise konvergieren. Beim Riemannintegral ist glm. Konv. gefordert, was eine starke Bedingung ist. Punktweise wäre somit viel Allgemeiner. Ich versuche nun den Link zu finden zu Treppenfunktionen. Der Dozent hat mir dieses Zugang über Treppenfunktionen für meine Masterarbeitnahegelegt. |
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