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Lebesgue-integrierbar, beschränkte Ableitung

Universität / Fachhochschule

Funktionen

Tags: Funktion, Integrierbarkeit, Lebesgue

Fabienne- aktiv_icon

15:01 Uhr, 26.11.2014

Haaaallllooo,

ich möchte gerade folgende Aufgabe bearbeiten, aber komme einfach auf keinen wirklichen Ansatz. :'(

Sei

f : [a, b] \to ℝ

differenzierbar, sei

f ʹ

beschränkt. Beweisen
Sie:

Dann ist

f ʹ

Lebesgue-integrierbar und es gilt

\int_{[a, b]} f ʹ (x) d x = f (b) - f (a)

.

Als Tipp wurde uns gegeben

f (x, t) = f (x + t)

zu betrachten für

x \in [a, b ʹ]

mit

b ʹ < b

Ich weiß aber überhaupt nicht worauf dieser Tipp abzielt, oder wie ich ihn verwenden kann...
Kann mir das jemand erklären?
Über Hilfe würde ich mich riesig freuen.

Um zu zeigen, dass eine Funktion Lebesgue-integrierbar ist muss ich doch normalerweise Treppenfunktionen und eine Hüllreihe angeben, aber das ist immer voll schwer. :'(

Liebste Grüße <3

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:
Funktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzenquotient (Mathematischer Grundbegriff)
Differenzierbarkeit (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitung einer Funktion an einer Stelle (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsfunktion (Mathematischer Grundbegriff)
Ableitungsregeln (Mathematischer Grundbegriff)

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Einführung Funktionen

Shipwater aktiv_icon

16:30 Uhr, 26.11.2014

Erinnere dich daran, dass die Ableitung der gute, alte Differentialquotient ist.
Es hilft dann sich die Funktionenfolge

f_{n} : [a, b] \to ℝ

definiert durch

f_{n} (x) := n \cdot (f (x + \frac{1}{n}) - f (x))

für

x \in [a, b - \frac{1}{n}]

und

f_{n} (x) := 0

sonst anzusehen und den Satz von der dominierten Konvergenz (Satz von Lebesgue) zu benutzen. Du weißt ja, dass

f'

beschränkt ist. Das sollte es leicht machen eine Majorante zu finden ;-)

Fabienne- aktiv_icon

20:52 Uhr, 26.11.2014

Supi, vielen Dank. Das war ja eigentlich ganz einfach, wenn man den Differentenquotienten ausnutzt. Ich denke ich habe das soweit nun:

f ist differenzierbar, also existiert

lim_{h \to \infty} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

mit

h := \frac{1}{n}

erhalten wir:

lim_{n \to \infty} n (f (x + \frac{1}{n}) - f (x))

Betrachte die Funktionenfolge

f_{n} : [a, b - \frac{1}{n}] \to ℝ

f_{n} (x) = χ_{[a, b - \frac{1}{n}]} n (f (x + \frac{1}{n}) - f (x))

f ʹ

beschränkt ist gibt es ein h mit

∣ f ʹ ∣ \leq h

und

f_{n}

konvergiert fast überall gegen f'.

Nach dem Satz von Lebesgue ist somit

f ʹ \in ℒ^{1} (ℝ)

und es gilt

\int_{[a, b - \frac{1}{n}]} f_{n} (x) d x \to_{k \to \infty} \int_{[a, b]} f ʹ (x) d x

= [f (x)]_{a}^{b} = f (b) - f (a)

Geht das so in Ordnung? <3

Shipwater aktiv_icon

09:59 Uhr, 27.11.2014

- Du meinst

lim_{h \to 0} \frac{f (x + h) - f (x)}{h}

- Die Funktionenfolge

f_{n}

bildet von

[a, b] \to ℝ

ab, da solltest du kein

n

im Definitionsbereich stehen haben
- Du hast jetzt eine integrierbare Majorante für die Grenzfunktion angegeben, aber das ist nicht der Satz von Lebesgue. Du brauchst ein

h \in L^{1} ([a, b])

mit

| f_{n} (x) | \leq h

für alle

n \in ℕ

und fast alle

x \in [a, b]

. Aber auch da hilft dir die Beschränktheit der Ableitung weiter. Tipp: Mittelwertsatz

Fabienne- aktiv_icon

03:03 Uhr, 28.11.2014

Ich kriege es leider nicht hin mit dem Mittelwertsatz eine Majorante zu finden, ich weiß nicht so recht wie ich den hier anwenden soll.

Muss ich den Mittelwertsatz auf die Funktionenfolge anwenden?
Also so:

f_{n} ʹ (ξ) = \frac{n}{b - a} (f (b + 1 / n) - f (b) - f (a + 1 / n) + f (a))

Aber das sieht ziemlich unbeschränkt aus.... :'(

Reicht es nicht einfach zu begründen, dass weil f' ja beschränkt ist, eigentlich nichts mehr zu tun ist, dass ich eine solche Majorante finden kann, denn f_n ist ja durch den Differenzenquotienten definiert...

Shipwater aktiv_icon

18:34 Uhr, 28.11.2014

Kann gerade nur mit dem Handy antworten, daher kurz: Du musst den MWS richtig anwenden dann siehst du dass du alle

f_{n}

durch die Schranke der Ableitung nach oben abschätzen kannst. Du sollst den MWS natürlich auf das Intervall

(x, x + \frac{1}{n})

anwenden.

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