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Lebesguemessbare und Jordanmessbare Mengen
Universität / Fachhochschule
Maßtheorie
Tags: Maßtheorie
 
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Hallo, ich beschäftige mich aktuell mit der Maßtheorie und am Anfang mit Mengen (Bevor es über Funktionen zu Integralen geht). Überspitzt geht es ja darum, wann eine Menge messbar ist (In der Länge zum Beispiel im . Jetzt habe ich verschiedene Sachen über lebesguemessbare Mengen, inneres und äußeres Lebesguemaß, jordanmaß und inhalt gelernt, Caratheodory, aber ich verstehe noch nicht so ganz, wie das alles zusammenhängt bzw. wie man sich das visuell vorstellen kann. Stellen wir uns mal vor wir haben eine Menge Omega in und sollen überprüfen/zeigen, dass diese Lebesguemessbar ist. Jetzt wird immer viel mit quadern gemacht. Würde das innere Lebesguemaß bedeuten, dass wir diese Menge Omega mit Quadern (Im mit Quadraten) von innen so gut es geht messen möchte, und das äußere Lebesguemaß eben von außen? also dass wir auch raus aus der Menge Omega dürfen? Wenn ja, was bedeutet es überhaupt ganz allgemein, wenn eine Menge Omega lebesguemessbar ist? Ich weiß, sehr allgemeine, offene Fragen, aber ich versuche es mir aktuell viel bildlich vorzustellen. Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert): "Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen." |
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Mit "bildlich vorstellen" ist da nicht mehr viel: Denn bereits die Borel-Sigma-Algebra des enthält ja sämtliche abzählbaren Vereinigungen sowie Durchschnitte von offenen und/oder abgeschlossenen Mengen, was schon mal alles von dem abdeckt, was einem normalerweise so über den Weg läuft. (Das kann man alles mit den "Quadern" beweisen, meist unter Einbeziehung der Tatsache, dass das abzählbare dicht liegt in .) Dass die Lebesgue-Sigma-Algebra als Vervollständigung der Borel-Sigma-Algebra noch mehr Mengen enthält, aber dennoch nicht alle Teilmengen des muss man eher anhand der strengen Beweise akzeptieren als dass man es sich bildlich vorstellen kann. Ok, zumindest geht es mir so. Obwohl, ein wichtiges Beispiel gibt es: Sei eine Nicht-Borel-Menge des sowie irgendeine Borel-Nullmenge des . Dann ist keine Borel-Menge im , wohl aber eine Lebesgue-Menge in diesem Raum. denn sie ist Teilmenge der Borel-Nullmenge , womit sie der Vervollständigung wegen zur Lebesgue-Sigma-Algebra gehört. Hast du irgendwelche konkreten Teilmengen des , wo du Zweifel hinsichtlich der Zugehörigkeit zur Lebesgue-Sigma-Algebra des hast, oder zumindest des entsprechenden Beweises? |
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Wenn ich mal der Reihe nach gehe. Also unsere Motivation ist eine Inhaltsfunktion zu finden, die möglichst vielen Mengen im einen Inhalt zuordnen kann, dessen wirkungsbereich auch größer als Riemannsche Inhaltsbegriffe sind. Angefangen haben wir mit dem Jordanmaß: Wir haben eine Menge Omega. Der innere Jordaninhalt ist definiert als das Supremum aus der Summe der Vereinigung der sich in Omega befinden Quader, um es mal in Worte zu fassen) Hier sind die Quader Teilmenge von Omega. Also das maximale an Quadern, um die Menge auszumessen. Der äußere Jordaninhalt ist definiert als das Infimum aus der Summe der Vereinigung der eingrenzenden Quader, die Omega enthalten. Also hier ist Omega Teilmenge der Quader. Jetzt heißt die Menge jordanmessbar, falls gilt, dass der innere gleich dem äußeren Jordaninhalt. Meine Frage ist dann: Was bringt mir die Jordannmessbarkeit für mein Maßproblem? |
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Ich verstehe auch noch nicht so ganz den Unterschied zwischen Jordaninhalt und Lebesguemaß. Ich habe mal beide Definitionen angehangen. Wo liegt da der Unterschied zwischen dem äußeren Jordaninhalt und dem äußeren Lebesguemaß?   |
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Es ist sicher nicht dasselbe. Man betrachte nur mal im Eindimensionalen die Menge , also die rationalen Zahlen des Intervall . Diese Menge ist bereits Borelmessbar, also erst recht Lebesguemessbar, mit Maßwert 0. Die Menge ist aber offenkundig nicht Jordanmessbar, denn es ist und . Kurzum: Jede Jordanmessbare Menge ist auch Lebesguemessbar, mit gleichem Maßwert. Die Umkehrung gilt nicht. Was das Konzept der Jordanmessbaren Mengen nicht so sonderlich interessant macht, wo doch viele Aussagen für die Mengen der viel umfangreicheren Lebesgue-Sigmaalgebra bewiesen werden können - warum sich dann auf die kleinere Menge der Jordanmessbaren Mengen beschränken. Was der Vergleich der äußeren Maße betrifft: Formal erstmal gleich angelegt als Infimum der Inhaltssummen einer Überdeckung gibt es doch einen entscheidenden Unterschied: Beim äußeren Lebesgue-Maß werden abzählbare Überdeckungen zugelassen, bei äußeren Jordaninhalt ja offenbar nur endliche mit abgeschlossenen Intervallen. Das macht etwa für die oben betrachtete Menge einen immensen Unterschied. Insgesamt dürfte das für alle zur Folge haben. Dabei meine ich mit das äußere Maß des Borel-Prämaßes gemäß der üblichen Caratheodory-Konstruktion. |
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Vielen Dank schon mal, sehr verständlich geantwortet :-) Was ich noch nicht so ganz nachvollziehen kann ist: Die Menge ist aber offenkundig nicht Jordanmessbar, denn es ist λ∗(A)=0 und λ∗(A)=1. Wie komme ich auf die Werte für das innere und äußere J-Maß? |
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Die Menge enthält kein einziges Intervall positiver Länge. D.h. die Vereinigung kann nur aus Intervallen der Länge 0 bestehen, also einzelnen Punkten. Und deren Gesamtinhalt ist nun mal immer 0. Und auf der anderen Seite: liegt dicht in , das klappt mit Intervallüberdeckung nur mit Gesamtinhalt 1. |
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