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Lebesque-Borel-Maß Verständnisproblem?

Universität / Fachhochschule

Maßtheorie

Tags: Analysis, Borel, Lebesgue-Maß, Maßtheorie, Mathematik, Mengenlehre, Sigma Algebra, Universität

xam193 aktiv_icon

17:03 Uhr, 28.03.2020

Guten Tag! Ich hatte in meinem Studium noch keine Maßtheorie aber da zur Zeit nicht viel zutun ist durch die Coronasituation, habe ich mir ein paar Videos dazu angeschaut und mich im Internet ein wenig darüber informiert.
Das Maßproblem sagt ja es existiert kein Maß auf der Potenzmenge der reellen Zahlen also auf

P (ℝ^{n}),

wenn man

P (ℝ^{n})

eben als Sigma-Algebra wählt. Okay habe ich verstanden. Jetzt gibt es aber das Lebesque-Borel-Maß auf der Borel-Sigma-Algebra

B (τ),

wobei

(ℝ^{n}, τ)

ein Topologioscher Raum und

τ

halt die topologie ist. Ich hatte in Analysis 1 und 2 den Begriff Topologische Räume noch nicht. Wir haben den Begriff offene Mengen nur im Sinne Metrischer Räume behandelt. Ich weiß aber, dass eine Topologie ein System offener Mengen ist. Daraus lässt sich mir folgern, dass in

τ

nur offene Mengen sind (die leere Menge und

ℝ^{n}

eingeschlossen).

B (τ)

ist also die von

τ

erzeugte Sigma-Algebra. Also zunächst ist

B (T) = {\emptyset, ℝ^{n}, ...}

. Dazu kommt dann noch:

T \subseteq B (τ) \Rightarrow \forall a \in T : a \in B (τ)

Und dann eben noch die Komplemente und Vereinigungen von jedem

a

. Jetzt ist das Lebesque-Borel-Maß

μ

folgendermaßen definiert:

μ : B (τ) \to [0, \infty]

mit

μ ([a_{1}, b_{1}] \times ... \times [a_{n}, b_{n}]) = (a_{1} - b_{1}) \cdot ... \cdot (a_{n} - b_{n})

Also mit dem Lebesque-Borel-Maß bilde ich Hyperrechtecke auf ihr Volume ab. Jenachdem wie groß

n

eben ist. Aber Hyperrechtecke sind doch abgeschlossene Teilmengen des

ℝ^{n} . .

. Und da ja

τ \in B (τ)

müssen ja auch offene Teilmengen in

B (τ)

enthalten sein. Durch die Komplementbildung konstruiert man ja auch abgeschlossene Teilmengen des

ℝ^{n} \in B (τ)

das ist klar aber wenn doch diese offenen Mengen auch in

B (τ)

enthalten sind funktioniert

μ

nicht mehr, da

\exists a \in B (τ) : \exists

kein

b \in [0, \infty]

sodass

μ (a) = b

. Danke und LG!

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich möchte die Lösung in Zusammenarbeit mit anderen erstellen."

Hierzu passend bei OnlineMathe:

Online-Übungen (Übungsaufgaben) bei unterricht.de:

Mengenlehre

Punov aktiv_icon

17:46 Uhr, 28.03.2020

Hallo, ich bin nicht sicher, ob ich dein Problem verstehe.

Dir geht es darum, dass das Lebesgue-Borel-Maß nur über die abgeschlossenen Quader definiert ist?

Das liegt daran, dass diese einen schnittstabilen Erzeuger der Borel-Sigma-Algebra auf

ℝ^{n}

bilden und man somit eindeutig fortsetzen kann. Es genügt also zu spezifizieren, was mit den Elementen aus einem Erzeuger passiert.

Viele Grüße

xam193 aktiv_icon

18:03 Uhr, 28.03.2020

Halllo! Danke für die Antwort! Also mein Problem nochmal kurz: der Definitionsbereich von dem L-B-Maß

μ

ist die B-Algebra

B (τ)

und in

B (τ)

sind offene Mengen enthalten, da

τ

ja ein System offener Mengen ist. Aber

μ

bildet ja nur diese abgeschlossenen Hyperrechtecke ab. Also werden diese offenen Mengen in

B (τ)

ja garnicht abgebildet mit

μ

. Es wird also nur eine Teilmenge

G \subset B (τ)

durch

μ

auf

[0, \infty]

abgebildet. Aber ein Maß ist ja eine Abbildung der ganzen Sigma-Algebra auf

[0, \infty]

Punov aktiv_icon

18:17 Uhr, 28.03.2020

Ich denke, das ist ein Missverständnis in folgendem Sinn:

Bezeichne

ℐ^{n} := {[a, b] : a, b \in ℝ^{n}, a \leq b}

. Dies ist ein schnittstabiler Erzeuger von

ℬ (ℝ^{n})

.

Die Abbildung

λ^{n} : ℐ^{n} \to [0, \infty], λ^{n} ([a, b]) = (b_{1} - a_{1}) \cdot (b_{2} - a_{2}) \dots (b_{n} - a_{n})

ist ein Prämaß (sog. Lebesgue-Prämaß) und dieses kann eindeutig (!) zum Borel-Lebesque-Maß

μ^{n}

(das man oftmals ebenfalls mit

λ^{n}

bezeichnet), fortgesetzt werden. Dies ist dann aber eine Abbildung auf

ℬ (ℝ^{n})

, d.h.

μ^{n} : ℬ (ℝ^{n}) \to [0, \infty]

, also insbesondere bildet diese Abbildung auch offene Mengen ab, wie du sagst.

Das heißt

μ^{n} ∣ ℐ^{n} = λ^{n}

. Deswegen sagt man oft, dass das Borel-Lebesgue-Maß "definiert" ist durch das, was es auf dem Halbring

ℐ^{n}

tut, denn es ist die eindeutige Fortsetzung des Lebesgue-Prämaßes. Genauer ist es aber zu sagen: Es ist das eindeutige Maß auf

ℬ (ℝ^{n})

mit der Eigenschaft, dass es, auf

ℐ^{n}

eingeschränkt, dem Lebesgue-Prämaß entspricht, also den abgeschlossenen Quadern das Volumen zuordnet.

(Du kannst auch jeden der anderen geläufigen Erzeuger von

ℬ (ℝ^{n})

nehmen. Alle sind schnittstabil. Die Idee ist die gleiche.)

pwmeyer aktiv_icon

18:42 Uhr, 28.03.2020

Hallo,

ich habe nicht gut verstanden, was Du fragst.

Eventuell ist Dir nicht klar, dass durch die von Dir angegebenen Rechtecksinhalte (oder Hyperrechtecksinhalte) das Maß noch nicht definiert ist. Vielmehr ist das Lebesgue-Maß ein Fortsetzung dieses Inhalts auf die Borelmengen.

Gruß pwm

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