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Legendre-polynom, n paarweise verscheidene NS

Universität / Fachhochschule

Differentiation

Tags: Differentiation, Legendre-Polynom

Anfaenger1 aktiv_icon

12:39 Uhr, 09.10.2010

Hallo,

Ich habe ein Problem mit dieser Aufgabe.

Zeigen sie dass das Legendre-Polynom n-ter Ordnung

P (n) = \frac{1}{2^{n} \cdot n!} \cdot (\frac{d^{n}}{{d x}^{n}}) \cdot ({(x^{2} - 1)}^{n})

genau

n

paarweise verschiedene Nullstellen im Intervall (-1,1)besitzt.
Hinweis: benutzen sie den Satz von Rolle.

Ich weiß was der Satz von rolle bedeutet. Im Intervall

- 1,1

muss die Ableitung des oben genannte Legendre Polynom eine Nullstelle besitzen, also ein Extrema in der Ausgangsfunktion.
Ich weiß aber nicht genau wie ich hier vorgehen soll und den Satz von Rolle anwenden kann. Kann mir jemand da helfen?

gruß anfaenger 1

Für alle, die mir helfen möchten (automatisch von OnlineMathe generiert):
"Ich bräuchte bitte einen kompletten Lösungsweg." (setzt voraus, dass der Fragesteller alle seine Lösungsversuche zur Frage hinzufügt und sich aktiv an der Problemlösung beteiligt.)

hagman aktiv_icon

13:36 Uhr, 09.10.2010

Sei

f (x) = {(x^{2} - 1)}^{n}

.
Zeige (mittels Rolle sowie der Produktregel) per Induktion für

0 \leq k \leq n :

Die k-te Ableitung von

f

hat die Form

f^{(k)} (x) = {(x^{2} - 1)}^{n - k} \cdot g_{k} (x),

wobei

g_{k}

ein Polynom mit genau

k

verschiedenen Nullstellen ist, die sämtlich im Intervall

(- 1,1)

liegen.

-

Übrigens kann man auch allgemeiner zeigen:
Die Ableitung von

f (x) = (x - a_{1}) \cdot (x - a_{2}) \cdot ... \cdot (x - a_{n})

mit

a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{n}

ist von der Form

f' (x) = (x - b_{1}) \cdot (x - b_{2}) \cdot ... \cdot (x - b_{n - 1})

mit

a_{1} \leq b_{1} \leq a_{2} \leq b_{2} \leq ... \leq b_{n - 1} \leq a_{n}

. Zudem gilt

a_{i} < b_{i} < a_{i + 1},

falls

a_{i} < a_{i + 1}

Anfaenger1 aktiv_icon

18:18 Uhr, 09.10.2010

Sry hatte Probleme mit dem Formeleditor. Das Legendre-Polynom heißt wiefolgt:

1 / ((2 \land n) n!) \cdot d \land n / d x \land n \cdot ((x \land 2 - 1) \land n)

Hoffe man kann alles nachvollziehen.

Diese Frage wurde automatisch geschlossen, da der Fragesteller kein Interesse mehr an der Frage gezeigt hat.

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